浙江 2016 · 数学 q07

冷启动：把「焦点重合」翻译成一条等式

题面给的两条曲线都已经是标准形，焦点都在 $x$ 轴上：

$$C_{1}:\ \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1\ (m>1),\qquad C_{2}:\ \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1\ (n>0).$$

先各自把半焦距读出来。$C_{1}$ 里 $x^{2}$ 的分母是 $m^{2}$、$y^{2}$ 的分母是 $1$， 由 $m>1$ 知 $m^{2}>1$，所以长半轴是 $m$、短半轴是 $1$，半焦距 $c_{1}$ 满足

$$c_{1}^{2}=m^{2}-1 .$$

$C_{2}$ 里 $x^{2}$ 的分母是 $n^{2}$、$y^{2}$ 的分母是 $1$，半焦距 $c_{2}$ 满足

$$c_{2}^{2}=n^{2}+1 .$$

这两条关系的加减号是反的，这是全题唯一的机关。 椭圆里 $a$ 最大， 所以是「大的平方减小的平方」；双曲线里 $c$ 最大，所以是两个平方相加。

「焦点重合」说的是这两个半焦距相等。把它记作 $c>0$，于是全题的出发点只有一句：

$$c^{2}=m^{2}-1=n^{2}+1 .$$

要判断的两件事——$m$ 与 $n$ 谁大、$e_{1}e_{2}$ 与 $1$ 谁大——都得从这一句里榨出来。

解法一：共焦点绑成一条等式，再把两个离心率之积平方

第一步：两条曲线的半焦距各写一遍，再让它们相等

椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1$ 中 $m>1$，故长半轴 $m$、短半轴 $1$， 半焦距的平方是 $m^{2}-1$。双曲线 $C_{2}:\dfrac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1$ 中 $n>0$， 半焦距的平方是 $n^{2}+1$。焦点重合意味着这两个平方相等，记这个公共的半焦距为 $c>0$：

$$c^{2}=m^{2}-1=n^{2}+1 .$$

第二步：作差，先把 $m$ 与 $n$ 的大小定下来

由 $m^{2}-1=n^{2}+1$ 直接得

$$m^{2}-n^{2}=2>0 ,$$

即 $m^{2}>n^{2}$。题面已给 $m>1>0$ 与 $n>0$，两个都是正数， 而正数上 $t\mapsto t^{2}$ 严格递增，所以由 $m^{2}>n^{2}$ 反推回去就是

$$m>n .$$

第三步：写出两个离心率

椭圆的离心率是半焦距比长半轴，双曲线的离心率是半焦距比实半轴，于是

$$e_{1}=\frac{c}{m},\qquad e_{2}=\frac{c}{n} .$$

两者都是正数，故 $e_{1}e_{2}=\dfrac{c^{2}}{mn}>0$。

第四步：要和 $1$ 比大小，先平方

$e_{1}e_{2}$ 与 $1$ 都是正数，而正数上平方保序，所以

$$e_{1}e_{2}>1\iff (e_{1}e_{2})^{2}>1 .$$

平方之后 $c$ 只以 $c^{2}$ 出现，而 $c^{2}$ 有两个现成的表达式可用：

$$(e_{1}e_{2})^{2}=\frac{c^{2}}{m^{2}}\cdot\frac{c^{2}}{n^{2}} =\frac{(m^{2}-1)(n^{2}+1)}{m^{2}n^{2}} .$$

注意这里两个括号各取了一条关系式：分子左边的 $c^{2}$ 换成椭圆那条 $m^{2}-1$， 右边的 $c^{2}$ 换成双曲线那条 $n^{2}+1$。若两边都用同一条，后面就配不出常数。

第五步：把分子展开，$m^{2}-n^{2}=2$ 正好接上

$$(m^{2}-1)(n^{2}+1)=m^{2}n^{2}+m^{2}-n^{2}-1=m^{2}n^{2}+2-1=m^{2}n^{2}+1 .$$

所以

$$(e_{1}e_{2})^{2}=\frac{m^{2}n^{2}+1}{m^{2}n^{2}}=1+\frac{1}{m^{2}n^{2}}>1 .$$

配合第四步的等价关系，得 $e_{1}e_{2}>1$。

第六步：结账

两件事都定下来了：$m>n$，且 $e_{1}e_{2}>1$。四个选项里同时写着这两条的只有 A。

解法二：把 m、n 都换成公共的半焦距，只剩一个变量

第一步：仍从共焦点这一句出发

椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1\ (m>1)$ 的半焦距平方是 $m^{2}-1$， 双曲线 $C_{2}:\dfrac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1\ (n>0)$ 的半焦距平方是 $n^{2}+1$。 焦点重合，把这个公共的半焦距记作 $c>0$，则

$$c^{2}=m^{2}-1=n^{2}+1 .$$

这一条里有三个字母，但真正自由的只有一个。 下面就把 $m$、$n$ 全挂到 $c$ 上。

第二步：$c$ 的取值范围先框出来

由 $c^{2}=n^{2}+1$ 与 $n>0$ 得 $c^{2}>1$；又 $c>0$，故

$$c>1 .$$

（顺带一句，这正说明双曲线的离心率 $e_{2}=\dfrac{c}{n}$ 必大于 $1$、 椭圆的离心率 $e_{1}=\dfrac{c}{m}$ 必小于 $1$，两者各在 $1$ 的一边， 所以乘积到底落在哪边，光看单个是看不出来的，必须算。）

第三步：把 $m$、$n$ 解出来

由 $c^{2}=m^{2}-1$ 得 $m^{2}=c^{2}+1$；由 $c^{2}=n^{2}+1$ 得 $n^{2}=c^{2}-1$。 两者都为正（前者显然，后者用了 $c>1$），且 $m>0$、$n>0$，故

$$m=\sqrt{c^{2}+1},\qquad n=\sqrt{c^{2}-1} .$$

第四步：$m>n$ 一眼可见

$c^{2}+1>c^{2}-1$，且两边都是正数，而 $\sqrt{\ \cdot\ }$ 在正数上严格递增，所以

$$m=\sqrt{c^{2}+1}>\sqrt{c^{2}-1}=n .$$

顺带也解释了图上那条「$n<c<m$」：$n^{2}=c^{2}-1<c^{2}<c^{2}+1=m^{2}$。

第五步：$e_{1}e_{2}$ 只剩一个字母

$$e_{1}e_{2}=\frac{c}{m}\cdot\frac{c}{n}=\frac{c^{2}}{mn} =\frac{c^{2}}{\sqrt{(c^{2}+1)(c^{2}-1)}}=\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{4}-1}} .$$

由 $c>1$ 知 $c^{4}-1>0$，根号有意义；又 $c^{4}-1<c^{4}$， 两边开方（正数上开方保序）得 $\sqrt{c^{4}-1}<c^{2}$。 分子分母都是正数、分母比分子小，所以

$$e_{1}e_{2}=\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{4}-1}}>1 .$$

第六步：结账

$m>n$ 与 $e_{1}e_{2}>1$ 同时成立，选 A。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是考场上的正解，不引入新字母，全程只做两次代数动作：作差得 $m^{2}-n^{2}=2$， 再把 $(e_{1}e_{2})^{2}$ 通分展开。它的巧劲全在第四步那个「分子里两个 $c^{2}$ 各换一条关系式」—— 一边换成 $m^{2}-1$、一边换成 $n^{2}+1$，展开后 $m^{2}-n^{2}$ 恰好现身，$2-1=1$ 落成常数。

解法二多写两个根号，换来的是只剩一个自由变量。一旦看清 $m$、$n$ 都由 $c$ 决定， 「谁大」和「积与 $1$ 比」就都是单变量的显然事实，连展开都不必。 这条路还顺手给出了一个几何画面：$n<c<m$，即公共焦点落在双曲线顶点的外侧、椭圆顶点的内侧， 教学图上块画的就是这件事。

两条路都要提防同一个坑：椭圆是减、双曲线是加。若把 $C_{2}$ 的半焦距平方写成 $n^{2}-1$， 则会得到 $m^{2}-n^{2}=0$，进而 $m=n$、$e_{1}e_{2}=\dfrac{c^{2}}{m^{2}}<1$， 两个结论一起翻车，而且看上去还挺”自洽”，很难自查出来。

一句话记住这道题：共焦点就是一条等式 $c^{2}=m^{2}-1=n^{2}+1$； 一减得 $m^{2}-n^{2}=2$ 定出 $m>n$，一平方得 $1+\dfrac{1}{m^{2}n^{2}}$ 定出 $e_{1}e_{2}>1$。