浙江 2023 · 数学 q16

冷启动：把两个向量条件翻译成几何事实

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，点 $A$ 在双曲线上、$B$ 在 $y$ 轴上，且

$$\vec{F_1A}\perp\vec{F_1B},\qquad \vec{F_2A}=-\frac{2}{3}\vec{F_2B}$$

第二个条件有两层意思：$\vec{F_2A}$ 与 $\vec{F_2B}$ 反向共线（$A,F_2,B$ 三点共线、$F_2$ 夹在中间），且长度比 $|F_2A|:|F_2B|=2:3$。第一个条件是 $F_1$ 处一个直角。求离心率 $e=\dfrac{c}{a}$。两条路：一条建系把向量写成坐标硬算，一条直接在图里解 △。

解法一：坐标向量法

怎么想到的。 焦点在坐标轴上、$B$ 在 $y$ 轴上，天然适合向量坐标化：把每个向量写成坐标，垂直就是点积为 $0$。

设 $B(0,n)$、$A(x,y)$。由 $\vec{F_2A}=-\dfrac{2}{3}\vec{F_2B}$，即 $(x-c,\,y)=-\dfrac{2}{3}(-c,\,n)$，逐坐标对照：

$$x-c=\frac{2}{3}c\ \Rightarrow\ x=\frac{5}{3}c,\qquad y=-\frac{2}{3}n\quad\Rightarrow\quad A\!\left(\frac{5}{3}c,\,-\frac{2}{3}n\right)$$

于是 $\vec{F_1A}=\left(\dfrac{8}{3}c,\,-\dfrac{2}{3}n\right)$、$\vec{F_1B}=(c,\,n)$。垂直 $\Rightarrow$ 点积为 $0$：

$$\frac{8}{3}c^2-\frac{2}{3}n^2=0\ \Rightarrow\ n^2=4c^2$$

把 $A$ 代入双曲线，并用 $b^2=c^2-a^2$（双曲线的abc关系，别记成加号）：

$$\frac{25c^2}{9a^2}-\frac{4n^2}{9b^2}=1\ \xrightarrow{n^2=4c^2}\ 25e^2-\frac{16e^2}{e^2-1}=9$$

令 $u=e^2$，去分母得 $25u^2-50u+9=0$，解得 $u=\dfrac{9}{5}$ 或 $u=\dfrac{1}{5}$。双曲线 $e>1$，舍 $u=\dfrac{1}{5}$，故 $e^2=\dfrac{9}{5}$，$e=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$。

解法二：勾股与余弦定理解 △

怎么想到的。 不建系，直接在图里读长度。由 $|F_2A|:|F_2B|=2:3$ 设 $|F_2A|=2t,\ |F_2B|=3t$。$B$ 在 $y$ 轴上、$F_1,F_2$ 关于 $y$ 轴对称，故 $|F_1B|=|F_2B|=3t$。又 $A,F_2,B$ 共线且 $F_2$ 居中，所以 $|AB|=2t+3t=5t$；$A$ 在右支上，$|AF_1|-|AF_2|=2a$ 给出 $|AF_1|=2t+2a$。

在直角 $\triangle F_1AB$（直角在 $F_1$）里用勾股：

$$|AB|^2=|F_1A|^2+|F_1B|^2\ \Rightarrow\ 25t^2=(2t+2a)^2+9t^2\ \Rightarrow\ t=a$$

于是 $|AF_1|=4a,\ |AF_2|=2a$，且 $\cos\angle F_1AB=\dfrac{|AF_1|}{|AB|}=\dfrac{4a}{5a}=\dfrac{4}{5}$。因为 $F_2$ 在 $AB$ 上，$\angle F_1AF_2=\angle F_1AB$。在 $\triangle AF_1F_2$ 里用余弦定理：

$$|F_1F_2|^2=|AF_1|^2+|AF_2|^2-2|AF_1||AF_2|\cos\angle F_1AF_2$$ $$4c^2=16a^2+4a^2-2\cdot4a\cdot2a\cdot\frac{4}{5}=\frac{36}{5}a^2\ \Rightarrow\ e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{9}{5}\ \Rightarrow\ e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

这两条路差在哪。 解法一是「翻译到底」：向量条件全变坐标方程，垂直变点积 $=0$，一路代数推到 $e$ 的方程，机械但稳。解法二是「看图算长度」：抓住 $|F_1B|=|F_2B|$ 这个对称、$A,F_2,B$ 共线这两点，把条件落到 Rt$\triangle F_1AB$ 与 $\triangle AF_1F_2$ 上——前者用勾股定 $t=a$，后者用余弦定理出 $e$，计算量更小，但要能看出这两个 △。两条路在 $e^2=\dfrac{9}{5}$ 上会合。

🕳️ 避坑

• 双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（即 $b^2=c^2-a^2$），别把 $a^2$ 与 $c^2$ 的位置颠倒成 $a^2=b^2+c^2$；解法一代 $b^2$ 那一步错了，$e$ 的方程就全歪（见圆锥曲线的abc关系记混）。
• $\vec{F_2A}=-\dfrac{2}{3}\vec{F_2B}$ 的负号别丢：它说明 $A,B$ 在 $F_2$ 两侧，所以 $|AB|=|F_2A|+|F_2B|$ 而非相减。
• 解 $25u^2-50u+9=0$ 得两根，$u=\dfrac{1}{5}<1$ 必须舍（双曲线 $e>1$）。

故 $C$ 的离心率为 $\boxed{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}}$。