浙江 2018 · 数学 q02

冷启动：先认出这是哪一套标准方程

双曲线的标准方程有两套，差别只在「哪一项前面是正号」：

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad\text{焦点在 $x$ 轴上，}(\pm c,\ 0)$$ $$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \qquad\text{焦点在 $y$ 轴上，}(0,\ \pm c)$$

两套共用同一条关系——双曲线的abc关系：

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}\qquad(c>a>0,\ c>b>0)$$

和那条 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$（$a$ 最大）左右是反的：双曲线里 $c$ 最大。 题目给的是

$$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$$

右边已经是 $1$，左边两项一正一负——这就是标准方程，只差把 $y^{2}$ 看成 $\dfrac{y^{2}}{1}$。 四个选项正好是一张 $2\times 2$ 表：焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴，半焦距是 $2$ 还是 $\sqrt{2}$。

解法一：由标准方程读 $a^{2}$、$b^{2}$，用 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 求焦点

怎么想到的。 方程已经摆成标准形，三个基本量里 $a^{2}$、$b^{2}$ 写在分母上， $c$ 由双曲线的abc关系当场算出来。焦点坐标就是把 $c$ 填进「哪一条轴」那一对括号里—— 没有隐藏条件，也不用分类。

① 对号入座。 $\dfrac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 就是 $\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{y^{2}}{1}=1$， 所以 $x^{2}$ 那一项为正：焦点在 $x$ 轴上。两个分母直接读出

$$a^{2}=3,\qquad b^{2}=1$$

② 算 $c$。

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=3+1=4\implies c=2$$

（开方取正：半焦距本身是正数。）

③ 写下焦点。 焦点在 $x$ 轴上、半焦距是 $2$，坐标就是 $(\pm 2,\ 0)$， 与选项 B 逐字相同。

图上那条从原点连到矩形角 $(a,b)$ 的斜线，长度正好是 $c$——它是直角的斜边，比 $a$、$b$ 都长， 所以双曲线里一定是 $c$ 最大。把 $c^{2}$ 写成 $a^{2}-b^{2}$，就是圆锥曲线的abc关系记混， 会得到 $c=\sqrt{2}$，正好掉进选项 A。

解法二：先看哪一项为正定焦点轴，排除 C、D 后再算 $c$

怎么想到的。 四个选项先按「在哪条轴上」分成两堆：A、B 在 $x$ 轴，C、D 在 $y$ 轴。 焦点轴只看方程的正负号，连 $c$ 都不用算——先把一半选项刷掉，再算一次 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 区分 A、B。 这是排除法：筛子是正确答案一定通得过的性质，刷掉的不必知道它错在哪一步。

① 焦点在哪条轴上？看哪一项是正的。

双曲线标准方程里，带着正号、单独等于 $1$ 的那一项所在的轴，就是焦点轴： 令另一项为零，剩下 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}=1$ 或 $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$，顶点就在那条轴上， 焦点跟着顶点走。本题 $x^{2}$ 项为正、$y^{2}$ 项被减掉，所以焦点在 $x$ 轴上。

C、D 的点都在 $y$ 轴上，直接出局。还剩 A、B。

别拿「分母大的那一项」来判双曲线。两项都是正号时才要比分母； 双曲线两项一正一负，正负号已经把轴钉死了。本题 $3>1$，两条判据碰巧给出同一个轴， 换一道 $\dfrac{x^{2}}{1}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 就会走叉——焦点仍在 $x$ 轴上。

② 半焦距是 $2$ 还是 $\sqrt{2}$？ 现在只在 $x$ 轴上选。仍用双曲线的abc关系：

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=3+1=4\implies c=2$$

A 的 $\sqrt{2}$ 正是 $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3-1}$，把双曲线写成了 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$。 只剩 B。

③ 回看筛子有没有刷错。 焦点必须在 $x$ 轴上（第 ① 步），半焦距必须是 $2$（第 ② 步）， B 两条都满足；A 轴对了数错了，C、D 轴就错了。选择题保证四选一，故选 B。

🕳️ 避坑

• $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，不是 $a^{2}-b^{2}$。 双曲线里 $c$ 最大，开方之前先看 $c^{2}$ 是不是比 $a^{2}$ 还大——本题 $4>3$，对；若算出 $2<3$，公式一定写反了。 这就是圆锥曲线的abc关系记混，换一道求 $e$、求 $a$、$b$、$c$ 的题同样栽。
• $y^{2}$ 没写分母，分母是 $1$。 $b^{2}=1$，不是「缺了 $b$」。
• 焦点轴看正负号，不看谁分母大。 分母大小是两项都为正时的判据，搬过来会在 $a^{2}<b^{2}$ 的双曲线上把焦点画到另一条轴。