锐角三角形漏掉第三个角的范围

坑长什么样

已知 $B=\dfrac\pi3$，在锐角三角形里求某个式子的范围。消元得 $C=\dfrac{2\pi}{3}-A$， 于是式子化成 $A$ 的函数。接着顺手写：

因为是锐角三角形，所以 $0<A<\dfrac\pi2$。

少了一半。 $C$ 也是这个三角形的角，也必须锐：

与 $0<A<\dfrac\pi2$ 取交，真正的范围是

左端从 $0$ 抬到了 $\dfrac\pi6$。差的这一段 $\left(0,\dfrac\pi6\right]$ 里 $C\geqslant\dfrac\pi2$， 三角形根本不是锐角的。

后果

• 区间变宽 $\Rightarrow$ 值域变大：多出来的那一段常常正好覆盖函数的另一段单调区间， 于是算出一个更小的下界（或更大的上界），整道题的答案错在端点上。
• 端点的开闭跟着乱：漏掉的那一侧本该是「取不到」的开端点，写成 $0$ 之后变成了 「代进去算一个值」——那个值往往还算得出来，于是错得很像对的。

怎么避免

1. 一个角一行：写下 $0<A<\dfrac\pi2$、$0<B<\dfrac\pi2$、$0<C<\dfrac\pi2$ 三行， 把已定的那个角划掉，剩下的逐条代入消元关系，最后取交集。
2. 代端点自检：把算出的区间两端代回去，看另外两个角是多少。上面的例子里 $A\to\dfrac\pi6$ 给出 $C\to\dfrac\pi2$、$A\to\dfrac\pi2$ 给出 $A$ 自己成直角——两端都恰好卡在「不再是锐角」的 门口，这是范围对了的标志。若某一端代回去发现三个角都还是锐角，说明范围没裁到底。
3. 换成边的语言复核：锐角三角形等价于「每条边的平方小于另两条边的平方之和」。 用余弦定理把它译成边的不等式再解一遍，与角那边的结论对上才放心。
4. 「钝角三角形」同理，且更容易漏：钝角只有一个，哪个角是钝角要分情形讨论， 不能默认是消掉的那个。