斜基底下坐标与模之比的最值

题型说明

题面长这样：给出两个单位向量 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$，告知它们的夹角 $\theta$；再设 $\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2$（$x$、$y\in\mathbf{R}$，$\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$），问 $\dfrac{|x|}{|\boldsymbol{b}|}$ 的最大值。

它与「给一个不等式约束、问夹角或模的最值」那类题不同：这里夹角是给死的，自由度全在 $x$、$y$ 上，而目标是一个零次齐次式（$x$、$y$ 同时放大，值不变）。所以：

• 自由度实际只有一个——$\boldsymbol{b}$ 的方向；
• 答案必然只与 $\theta$ 有关，与 $|\boldsymbol{b}|$ 的大小无关。

两个入口

代数入口：把模平方摊开，$|\boldsymbol{b}|^{2}=x^{2}+2xy\cos\theta+y^{2}$。目标是零次齐次式，于是要么设 $t=\dfrac{y}{x}$ 降成一元，要么把 $y$ 当主元配方：

一步就得 $\dfrac{|x|}{|\boldsymbol{b}|}\leqslant\dfrac{1}{\sin\theta}$，连”$x$ 是否为零”都不必分类。

几何入口：$x\boldsymbol{e}_1$、$y\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{b}$ 首尾相接成一个三角形，$|x|$、$|y|$、$|\boldsymbol{b}|$ 是它的三条边，而两个基向量之间的夹角就是这个三角形里对着 $\boldsymbol{b}$ 的那个角的补角或本身——两种情形的正弦相同。正弦定理立刻给出

等号当且仅当那个角是直角，即 $\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{e}_2$。

这类题的关口

• 答案是 $\dfrac{1}{\sin\theta}$，不是 $\dfrac{1}{\cos\theta}$。搞混的根源是把”坐标”当成”投影”：斜基底里抓 $x$ 要投到 $\boldsymbol{e}_2$ 的垂线上，出来的因子是正弦。
• 等号取不到就不叫最大值。这类题的等号总能取到（让 $\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{e}_2$ 即可），但要在卷面上给出一个具体的 $(x,y)$——夹角 $30^{\circ}$ 时 $(x,y)=(2,-\sqrt3)$ 就让 $|\boldsymbol{b}|=1$、$\dfrac{|x|}{|\boldsymbol{b}|}=2$。
• 走 $t=\dfrac{y}{x}$ 那条路要先交代 $x\neq0$：$x=0$ 时目标值是 $0$，显然不是最大值，一句话即可，但不能不说。