齐次化除以的量可能为零

病灶

目标是 $x$、$y$ 的零次齐次式（$x$、$y$ 同时放大 $k$ 倍值不变），常规动作是分子分母同除 $x^{2}$（或 $x$），再令 $t=\dfrac{y}{x}$，把二元最值压成一元。这一步默默用掉了一个前提：$x\neq0$。

若 $x$ 的取值范围里含 $0$，$t$ 就取不到那一档——$x=0$ 对应的那些 $(x,y)$ 全被换元筛掉了。此时 $t\in\mathbf{R}$ 上求出来的最值只是”$x\neq0$ 那一片的最值”，还没有资格叫全局最值。

怎么补

只需一句话，但必须有：

• 若 $x=0$ 时目标值好算，就单独算出来与 $t\in\mathbf{R}$ 上的结果比一比。多数题里 $x=0$ 给的是退化值（$0$、或某个端点），一句「$x=0$ 时目标为 $0$，不是最大值」就闭合了。
• 若 $x=0$ 不在定义域内（三角形三边恒正、模非零之类），就把这个理由写出来，别默认。

更省事的替代

很多时候根本不必除。把式子对另一个变量配方，就绕开了这条分类：

这一步对一切 $x$、$y$ 成立，$x=0$ 也成立（两边都是 $0$，不等式退化为等式，无碍）。换主元往往比补分类更短——遇到”除以一个可能为零的量”，先想想能不能把它留在原地。

自检

• 看一眼：我除掉的那个量，题目有没有保证它非零？（边长、模、正数——有保证；坐标、系数、参数——没有。）
• 换元之后新变量的范围是不是真的取遍了？$t=\dfrac{y}{x}$ 在 $x\neq0$ 下确实取遍 $\mathbf{R}$，但 $t=\dfrac{y}{x}$ 在 $x>0$ 下就只取遍一半。
• 结论里的等号，能不能回代出一组具体的 $(x,y)$？取不到的”最值”不是最值。