易错点

负余弦下模越大数量积反而越小

夹角是钝角时 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta 为负，两条边越长负得越深——「边长值大」在这里是反的。

易错点

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta

∣a⃗∣∣b⃗∣|\vec a||\vec b| 恒为正，所以数量积的符号只由 cos⁡θ\cos\theta 决定；而 ∣a⃗∣∣b⃗∣|\vec a||\vec b| 起的作用 是把这个符号放大。于是：

  • θ\theta 为锐角（cos⁡θ>0\cos\theta>0）：边越长，数量积越大；
  • θ\theta 为钝角（cos⁡θ<0\cos\theta<0）：边越长，数量积越小。

直觉只记住了前一半。图上两条最长的向量夹一个钝角时，它们的数量积往往是全场最小的那个， 而不是最大的——这正是「几个数量积比大小」这类题最爱设的那个陷阱。

一句话记法

负数乘一个更大的正数，会更小。 把 −2-2 乘 33 得 −6-6，比 −2-2 小。数量积没有例外。

自检

写完次序问两句：① 这几个数量积各是什么符号？② 负的那几个里，我是不是把「模的乘积大」 当成了「数量积大」？只要有一个是负的，这一步就必须显式翻一次方向。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。