符号组合的向量模最值

题型说明

• 常见问法：「正方形（正三角形、正六边形）的若干条边与对角线，每个系数取遍 $\pm1$，$\left\lvert\sum\lambda_i\vec v_i\right\rvert$ 的最小值是____；最大值是____」。
• 它长得像不等式最值题，其实是一道有限枚举题：系数离散 $\Rightarrow$ 和向量只有有限个，模只有有限个取值。看清这一点，题目就从「求最值」变成「把候选列全」。

三步固定动作

1. 选一组基，把每个 $\vec v_i$ 都写成基的组合。 正方形取两条邻边 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$：对角线是 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，对边是它们的相反向量。这一步之后题目里就没有向量了，只剩两个整数系数。

2. 把模写成两个系数的函数。 基正交且等长时最省事：

   $$\left\lvert x\vec e_1+y\vec e_2\right\rvert^{2}=x^{2}+y^{2}\quad(\vec e_1\perp\vec e_2,\ \lvert\vec e_1\rvert=\lvert\vec e_2\rvert=1)$$

   不正交就得留着交叉项 $2xy\,\vec e_1\cdot\vec e_2$，先算好那个数量积。

3. 数清 $(x,y)$ 能取哪些值，再从有限个 $x^{2}+y^{2}$ 里挑最小、最大。别忘了给出取到的那一组具体符号——这才叫「最值」。

让候选变少的两个观察

• 成对抵消：正方形里 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 互为相反向量，$\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_3\overrightarrow{CD}=(\lambda_1-\lambda_3)\overrightarrow{AB}$，而 $\lambda_1-\lambda_3$ 只能是 $0$ 或 $\pm2$。一对相反向量的 $\pm1$ 组合只有三种结果。

• 平方相等给出的恒等式：$\lambda_i=\pm1\Rightarrow\lambda_i^{2}=1$，于是

  $$(\lambda_5-\lambda_6)(\lambda_5+\lambda_6)=\lambda_5^{2}-\lambda_6^{2}=0$$

  ——两个括号里必有一个是 $0$，另一个是 $\pm2$。这一条把两条对角线的贡献压成了四种，是这一类题最锋利的一刀。

常见陷阱

• 直接套三角不等式：$\left\lvert\sum\lambda_i\vec v_i\right\rvert\leqslant\sum\lvert\vec v_i\rvert$ 给出的上界（正方形那道题是 $4+2\sqrt{2}$）取不到，因为六个向量不可能同向。上界必须回验等号，否则就是错的。
• 把「取遍 $\pm1$」当成连续变量：这类题不能求导、不能用基本不等式定最值，候选只有有限个。
• 只报数值不给符号：最小值 $0$ 要给出一组让和为零向量的 $\lambda$；最大值也要给出一组取到的。
• 基不正交却按 $x^{2}+y^{2}$ 算：正三角形、正六边形里基的夹角是 $60^\circ$ 或 $120^\circ$，交叉项不能丢。