套路

数量积化成四条距离的平方

四个点 AA、BB、CC、DD 的数量积 AB→⋅CD→=12(AD2+BC2−AC2−BD2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac12\left(AD^{2}+BC^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right)——右边只有六条连线中的四条长度，夹角、坐标、位置全部消失。

解题套路

对任意四个点（共面不共面都行，允许重合）：

 AB→⋅CD→=12(AD2+BC2−AC2−BD2) \boxed{\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} =\tfrac12\left(AD^{2}+BC^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right)\ }

怎么记：左边是 A→BA\to B 点 C→DC\to D。右边取正的是 ADAD、BCBC—— 一条向量的起点配另一条的终点（首尾交叉）；取负的是 ACAC、BDBD—— 起点配起点、终点配终点（首首、尾尾）。再除以 22。

怎么证（两行）：由 2u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−∣u⃗−v⃗∣22\vec u\cdot\vec v=|\vec u|^{2}+|\vec v|^{2}-|\vec u-\vec v|^{2}，

2 AB→⋅AD→=AB2+AD2−BD2,2 AB→⋅AC→=AB2+AC2−BC22\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}, \qquad 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}

两式相减，左边是 2 AB→⋅(AD→−AC→)=2 AB→⋅CD→2\,\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}， 右边 AB2AB^{2} 抵消，正是所要。

一个立刻能用的推论：三对之和恒为零

把公式对同一组四点的三种配对各用一次：

AB→⋅CD→=12(AD2+BC2−AC2−BD2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\tfrac12\left(AD^{2}+BC^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right) AC→⋅DB→=12(AB2+CD2−AD2−CB2)\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=\tfrac12\left(AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-CB^{2}\right) AD→⋅BC→=12(AC2+BD2−AB2−DC2)\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\tfrac12\left(AC^{2}+BD^{2}-AB^{2}-DC^{2}\right)

六个平方两两成对抵消，于是

AB→⋅CD→+AC→⋅DB→+AD→⋅BC→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0

三对「对棱」的数量积之和永远是 00。 于是三条里知道两条就知道第三条； 若其中一条恒为定值，另两条就被绑成一条直线上的两个点，此消彼长。

什么时候想到它

  • 要算的数量积两个向量没有公共端点（AB→\overrightarrow{AB} 与 CD→\overrightarrow{CD} 这种）， 而题面给的恰是若干条边长；
  • 图形在动，但动的过程中大部分距离不变——公式右边只剩一两个变量， 于是数量积成了这一两条长度的函数；
  • 要判「某对对棱能不能垂直」：垂直 ⇔\Leftrightarrow 右边那个平方组合为 00， 一个纯长度方程，比追踪角度容易得多。

两个提醒

  • 别把字母次序抄乱。 公式对 AB→⋅CD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} 成立； 换成 AB→⋅DC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC} 要整体变号。稳妥办法是代一个简单构型 （例如正方形）当场验一遍再用。
  • 右边是「距离的平方」，不是距离。 四个平方项前的号已经定死， 别顺手写成 12(AD+BC−AC−BD)\frac12(AD+BC-AC-BD) 那样的长度组合——那不是恒等式。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。