投影和恒成立求数量积范围

题型说明

• 常见问法：「已知 $|\vec a|=1$、$|\vec b|=2$，若对任意单位向量 $\vec e$ 均有 $|\vec a\cdot\vec e|+|\vec b\cdot\vec e|\leqslant\sqrt6$，则 $\vec a\cdot\vec b$ 的最大值是____」。 多为填空题的压轴位置。
• 难点在「对任意」三个字：条件不是一个不等式，而是一整族不等式。 处理它只有两条路——
  1. 挑一个最狠的 $\vec e$（取遍时哪一个把左边顶到最大），把族缩成一个不等式；
  2. 把左边关于 $\vec e$ 的最大值直接算出来，条件就等价于「最大值 $\leqslant k$」。
• 注意 $\vec a\cdot\vec e$ 在 $|\vec e|=1$ 时正是 $\vec a$ 在 $\vec e$ 方向上的投影（带符号）， 所以题面说的是「两个投影的绝对值之和处处不超过 $k$」。

关键的两个事实

1. 两个绝对值之和等于两支取大：对任意实数 $x,y$， $$|x|+|y|=\max\left(|x+y|,\ |x-y|\right).$$ 取 $x=\vec a\cdot\vec e$、$y=\vec b\cdot\vec e$，左边就变成 $\max\left(|(\vec a+\vec b)\cdot\vec e|,\ |(\vec a-\vec b)\cdot\vec e|\right)$—— 两个向量的信息被打包成了 $\vec a\pm\vec b$ 两个向量。
2. 投影的最大值就是模长：$\max_{|\vec e|=1}|\vec v\cdot\vec e|=|\vec v|$， 在 $\vec e$ 与 $\vec v$ 同向（或反向）时取到。

两条合起来：条件 $\Longleftrightarrow |\vec a+\vec b|\leqslant k$ 且 $|\vec a-\vec b|\leqslant k$。 再平方展开，$\vec a\cdot\vec b$ 就露出来了，而且上下界一起得到。

几何读法

以 $\vec a$、$\vec b$ 为邻边作平行四边形，$\vec a\pm\vec b$ 是它的两条对角线。 条件说的就是两条对角线都不超过 $k$。夹角越大 $|\vec a+\vec b|$ 越小、$|\vec a-\vec b|$ 越大， 所以这一句话把夹角卡在了一个区间里，$\vec a\cdot\vec b$ 也就跟着被卡住。

常见失手

• 只取一个方向的 $\vec e$ 就下结论。挑 $\vec e$ 得到的只是必要条件； 要说最值取得到，必须回头验证那组向量对所有 $\vec e$ 都满足原式。
• 只用 $\vec a+\vec b$ 忘了 $\vec a-\vec b$。前者给上界，后者给下界，问最小值时漏一个就错。
• 把 $|\vec a+\vec b|$ 当成 $|\vec a|+|\vec b|$。