几个数量积比大小

题型长什么样

一个几何图形（四边形加两条对角线、三角形加几条中线、圆内的几条弦）， 标出几个数量积 $I_1=\vec a_1\cdot\vec b_1$、$I_2=\vec a_2\cdot\vec b_2$……，四个选项各给一种大小次序。

只问次序、不问数值——这是信号：具体算出每个数往往比必要的做法费得多。

主线：先定符号，再比模

右边是两个正数乘一个可正可负的余弦，于是比大小分两层：

1. 先分正负。$\theta$ 是锐角就为正、钝角就为负、直角就是 $0$。 一正一负的两个，不必算就分出了大小——这一层常常已经把四个选项砍掉三个。

2. 同号的那几个再比模的乘积。注意方向：

   • 都为正：$|\vec a||\vec b|$ 越大，数量积越大；
   • 都为负：$|\vec a||\vec b|$ 越大，数量积越小（负得更深）。

省力的两招

• 共点的向量先找倍数关系。若 $\vec c$ 与 $\vec a$ 共线反向，写 $\vec c=-\lambda\vec a$（$\lambda>0$）， 那么 $\vec c\cdot\vec b=-\lambda\,(\vec a\cdot\vec b)$——几个数量积全变成同一个数的倍数， 比大小只剩下比几个正系数，一个数都不用算出来。
• 对顶角与补角。两条线交于一点，四个角里只有两个值：$\theta$ 与 $180^\circ-\theta$。 故所有数量积的余弦因子只有 $\cos\theta$ 与 $-\cos\theta$ 两种，符号一目了然。

收尾

比完记得回读选项：这类题的四个选项常常是同几个字母的不同排列，看错一眼就换了个答案。