套路

沿定轴做正交分解

绕定轴 ℓ\ell 翻折或旋转时，把每个向量拆成「沿 ℓ\ell」与「垂直 ℓ\ell」两段；交叉项的数量积恒为零，于是任意两个向量的数量积 == 一个与运动无关的常数 ++ 一个只带 cos⁡θ\cos\theta 的项。

解题套路

设 e⃗\vec e 是定轴 ℓ\ell 的单位方向向量。任一向量 u⃗\vec u 唯一地拆成

u⃗=u∥e⃗+u⃗⊥,u∥=u⃗⋅e⃗,u⃗⊥⋅e⃗=0\vec u=u_{\parallel}\vec e+\vec u_{\perp}, \qquad u_{\parallel}=\vec u\cdot\vec e,\quad \vec u_{\perp}\cdot\vec e=0

于是对任意两个向量

u⃗⋅v⃗=u∥v∥+u⃗⊥⋅v⃗⊥\vec u\cdot\vec v=u_{\parallel}v_{\parallel}+\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp}

——两个交叉项 u∥e⃗⋅v⃗⊥u_{\parallel}\vec e\cdot\vec v_{\perp} 与 u⃗⊥⋅v∥e⃗\vec u_{\perp}\cdot v_{\parallel}\vec e 都是 00， 一个字都不用算。

绕 ℓ\ell 的翻折（旋转）做的事，用这套记号讲就一句话：

  • 平行分量 u∥u_{\parallel} 一动不动（每个点在轴方向上的投影不变）；
  • 垂直分量 u⃗⊥\vec u_{\perp} 长度不变，只是整体转过一个角。

所以，若 u⃗\vec u 属于「折起的那一半」、v⃗\vec v 属于「不动的那一半」， 两个垂直分量的夹角就是二面角 θ\theta（或它的补角），于是

u⃗⋅v⃗=u∥v∥⏟常数±∣u⃗⊥∣∣v⃗⊥∣cos⁡θ⏟只这一项在动\vec u\cdot\vec v=\underbrace{u_{\parallel}v_{\parallel}}_{\text{常数}} \pm\underbrace{\left|\vec u_{\perp}\right|\left|\vec v_{\perp}\right|\cos\theta}_{\text{只这一项在动}}

每个数量积都长成 A+Bcos⁡θA+B\cos\theta。 值域立刻是 [A−∣B∣, A+∣B∣][A-|B|,\,A+|B|]， 「能不能垂直」就是问 00 在不在这个区间里。B=0B=0 的那一对最省事：它与运动无关，一眼定生死。

怎么把两段读出来

不必真去解坐标。对每个端点作到 ℓ\ell 的垂线，垂足记下来：

  • 平行分量 == 两个垂足之间那一段（带方向），长度直接从轴上量；
  • 垂直分量 == 端点到自己垂足那一段，长度就是点到轴的距离。

于是 AB→=AH→+HB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}（HH 是 AA 的垂足，BB 在轴上时更简单）， 一条向量拆完，u∥u_{\parallel}、∣u⃗⊥∣\left|\vec u_{\perp}\right| 两个数就都有了。

什么时候想到它

  • 有一条全程不动的直线（折痕、旋转轴、公垂线），而要算的是跨越两侧的数量积、长度或夹角；
  • 建系要么坐标难看（垂足不在整点上），要么根本不想引入第三个方向；
  • 题问的是「存在某个位置使……」——写成 A+Bcos⁡θA+B\cos\theta 之后，存在性变成一次区间判断。

两个提醒

  • 符号看清是 θ\theta 还是 π−θ\pi-\theta。 二面角是两条从轴指向外侧的射线的夹角； 若手里的向量是反着指的（例如 AH→\overrightarrow{AH} 而非 HA→\overrightarrow{HA}）， 夹角就变成补角，cos⁡\cos 前面要翻号。拆完之后代一个已知位置（比如摊平时）验一下号，最稳。
  • 别把「垂直分量的长度」当成端点到轴上某个顶点的距离。 它是点到整条轴的距离， 也就是到垂足的距离；垂足一般不落在顶点上。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。