题型

两个向量模之和的最值

两个向量的模固定，问 ∣a⃗+b⃗∣+∣a⃗−b⃗∣|\vec a+\vec b|+|\vec a-\vec b|（或类似的两个模之和）能取到多大、多小；关键是这两个模**不独立**——它们的平方和是定值。

题型说明

  • 常见问法：「已知 ∣a⃗∣=m|\vec a|=m、∣b⃗∣=n|\vec b|=n，则 ∣a⃗+b⃗∣+∣a⃗−b⃗∣|\vec a+\vec b|+|\vec a-\vec b| 的最小值是____，最大值是____。」
  • 看着有两个自由的量，其实只有一个自由度：夹角。定住夹角，两个模就都定了。

唯一的机关：平方和是定值

把两个模都平方（用数量积展开）：

∣a⃗+b⃗∣2=m2+n2+2a⃗⋅b⃗,∣a⃗−b⃗∣2=m2+n2−2a⃗⋅b⃗|\vec a+\vec b|^{2}=m^{2}+n^{2}+2\vec a\cdot\vec b,\qquad |\vec a-\vec b|^{2}=m^{2}+n^{2}-2\vec a\cdot\vec b

一加，a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b 消掉：

∣a⃗+b⃗∣2+∣a⃗−b⃗∣2=2(m2+n2)|\vec a+\vec b|^{2}+|\vec a-\vec b|^{2}=2\left(m^{2}+n^{2}\right)

这就是平行四边形恒等式（平行四边形两条对角线的平方和 = 四条边的平方和）。 记 x=∣a⃗+b⃗∣x=|\vec a+\vec b|、y=∣a⃗−b⃗∣y=|\vec a-\vec b|，则点 (x,y)(x,y) 恒在圆 x2+y2=2(m2+n2)x^{2}+y^{2}=2(m^{2}+n^{2}) 上—— 一个动，另一个就被绑住。

两条路

路怎么走长处
代数记 t=a⃗⋅b⃗t=\vec a\cdot\vec b，z2=x2+y2+2xyz^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy，把 xyxy 写成 tt 的函数再定范围不必画图，边界条件自动带出来
几何点 (x,y)(x,y) 在圆弧上，z=x+yz=x+y 是斜率 −1-1 的平行线族，平移它最值位置一眼可见：端点给最小、切点给最大

边界从哪来

xx、yy 各自的范围由三角不等式给：∣∣a⃗∣−∣b⃗∣∣≤x,y≤∣a⃗∣+∣b⃗∣\bigl||\vec a|-|\vec b|\bigr|\le x,y\le|\vec a|+|\vec b|。 它把整个圆截成一段弧——没有这一段截取，最小值就找不到落点。

常见陷阱

  • 把 xx、yy 当成互相独立：各取范围端点凑出 zz 的上下界，结论一定偏大。
  • 忘了截弧：只在整个圆上找 x+yx+y 的最小值，会得到 −2 r-\sqrt{2}\,r 这种负数。
  • 只算切点、不算端点：切点给的是最大值，最小值在弧的端点上。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。