两个数量积定不住空间向量

坑长什么样

已知 $\vec e_1$、$\vec e_2$ 是空间单位向量，$\vec e_1\cdot\vec e_2=\dfrac12$， 且 $\vec b\cdot\vec e_1=2$、$\vec b\cdot\vec e_2=\dfrac52$，求 $\left|\vec b\right|$。

• 错：设 $\vec b=x\vec e_1+y\vec e_2$，两个数量积给出

  $$x+\frac{y}{2}=2 ,\qquad \frac{x}{2}+y=\frac52 \ \Longrightarrow\ x=1,\ y=2 ,$$

  于是 $\left|\vec b\right|^{2}=1^{2}+2^{2}+2\cdot 1\cdot 2\cdot\dfrac12=7$，答 $\sqrt7$。

• 对：$\vec b$ 在空间里，凭什么一定躺在 $\vec e_1,\vec e_2$ 那张平面上？ 它一般写成

  $$\vec b=\underbrace{x_0\vec e_1+y_0\vec e_2}_{\text{平面内的投影 }\vec p} +\underbrace{\vec n}_{\perp\text{ 那张平面}} ,$$

  两个数量积只定住 $\vec p$（上面那两个方程算的正是它）， $\left|\vec n\right|$ 一点约束都没有。$\left|\vec b\right|^{2}=7+\left|\vec n\right|^{2}$， 没有第三个条件就答不出来。上面那个 $\sqrt7$ 只是 $\left|\vec n\right|=0$ 的特例。

为什么

数量积 $\vec b\cdot\vec e$ 读出的是 $\vec b$ 在 $\vec e$ 那个方向上的投影，别的一概不管。 垂直于平面的那一截 $\vec n$ 与 $\vec e_1$、$\vec e_2$ 的数量积都是 $0$—— 它对这两个已知数一点贡献都没有，所以想加多长加多长，两个等式照样成立。

换成坐标看更直白：把 $\vec b$ 写成 $(m,n,t)$，两个数量积是两个方程， 只够定住 $m$、$n$，$t$ 一直悬着。三个自由度、两个方程，差一个。

这个坑是「从平面搬到空间」时才冒出来的：在平面里向量只有 $2$ 个自由度， 两个不共线方向上的数量积正好把它定死，写 $\vec b=x\vec e_1+y\vec e_2$ 天经地义。 把同一句话搬进空间就不成立了，而题面往往只在「空间」两个字上提醒过一次。

怎么防

1. 先数自由度。空间向量 $3$ 个，每个数量积是 $1$ 个方程。 凑不满 $3$ 个方程，就一定还有没定住的量，别急着算模。
2. 一律拆成 $\vec p+\vec n$：平面内的投影 + 垂直于平面的那一截。 先用两个数量积把 $\vec p$ 解出来，再回题面找定 $\left|\vec n\right|$ 的那句话—— 它通常长成「某个距离的最小值是……」「$\vec b$ 与平面所成的角是……」这类样子。
3. 最后用勾股拼回去：$\left|\vec b\right|^{2}=\left|\vec p\right|^{2}+\left|\vec n\right|^{2}$。 两截互相垂直，模是这么合的，不是直接相加。
4. 看见「空间」两个字就警觉。同一道题把「空间单位向量」换成「平面单位向量」， 上面那个 $\sqrt7$ 就是对的——差别全在这两个字上。