浙江 2012 · 数学 q05

冷启动：四个选项其实只在问一件事

题面只给了一句话：$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是两个非零向量。四个选项是四条「若 $P$ 则 $Q$」：

四条里出现的只有两件事：等式 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert$（记作 $E$）、垂直、共线。A 与 C 都从 $E$ 出发，B 与 D 都以 $E$ 收尾。所以只要把「$E$ 到底意味着什么」问清楚，四条同时有了答案。

$E$ 的右边写着 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert$，没有外层绝对值——左边是模、非负，所以 $E$ 一成立就顺带逼出 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert$。这个不起眼的副产品后面要用。

答案是 C：$E$ 逼出来的是反向共线，不是垂直。

解法一：两边平方，把绝对值换成数量积

怎么想到的。 等式两边都非负——左边 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert$ 是模，而右边等于左边，所以 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert\geqslant 0$，即 $E$ 自带一句 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert$（这句下面定 $\lambda$ 的范围时还要用）。两边非负，平方就是等价变形；而模的平方就是自己跟自己的数量积——绝对值一去，全是可算的东西。

平方。 用 $\lvert\boldsymbol{v}\rvert^{2}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}$：

$$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert^{2} =\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+2\,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}, \qquad \bigl(\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert\bigr)^{2} =\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}-2\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2} .$$

两边相等，消掉 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}$：

$$\boxed{\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\ }$$

读出方向。 设夹角为 $\theta\in[0,\pi]$，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\cos\theta$。两个向量非零，模都为正，于是 $\cos\theta=-1$，即 $\theta=\pi$——两个向量方向相反、在同一条直线上。既然共线，就存在实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$（而且 $\lambda<0$）。

四条一起判完。

• C 成立：$E\Rightarrow\theta=\pi\Rightarrow$ 共线，$\lambda$ 存在。✔
• A 不成立：$E$ 逼出的是 $\theta=\pi$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\neq 0$（两向量非零），恰恰不垂直。还要补一句才算真的否掉它：$E$ 确实有解（$\boldsymbol{a}=(2,0)$、$\boldsymbol{b}=(-1,0)$ 就满足），所以 A 不是「前提根本不可能成立、于是空洞地为真」，而是有真实反例的假命题。
• B 不成立：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ 给的是 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，与 $-\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert$ 相等要求 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert=0$，与「非零」矛盾。
• D 不成立：$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$ 只说共线，没说朝哪边。$\lambda>0$ 时 $\theta=0$、$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=+\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert$，$E$ 不成立。

顺带把 $\lambda$ 的范围也定死。 由 $\lambda<0$ 与本条开头那句 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\lambda\rvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert$（$\lvert\boldsymbol{a}\rvert>0$，可约掉）得 $\lvert\lambda\rvert\leqslant 1$，故

$$E\iff \boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}\ \text{且}\ -1\leqslant\lambda<0 .$$

反过来验一遍：此时 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert 1+\lambda\rvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert=(1+\lambda)\lvert\boldsymbol{a}\rvert$，而 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert=(1-\lvert\lambda\rvert)\lvert\boldsymbol{a}\rvert=(1+\lambda)\lvert\boldsymbol{a}\rvert$，两边确实相等。这也说明 C 的逆命题（即 D）为什么假：共线只是一半条件，还差 $\lambda$ 的符号与大小。

解法二：三角形不等式——左端取等只可能是反向共线

怎么想到的。 不必动笔算，$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert$ 与 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert$、$\lvert\boldsymbol{b}\rvert$ 的关系本来就有一条现成的夹逼：

$$\bigl\lvert\,\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert\,\bigr\rvert \ \leqslant\ \lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert \ \leqslant\ \lvert\boldsymbol{a}\rvert+\lvert\boldsymbol{b}\rvert .$$

题面的等式 $E$ 正是左端取等（并且右侧那个绝对值恰好可以去掉，因为已知 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert$）。

两端的取等条件长得不一样，这是全题的关键。 把两个向量首尾相接看成三角形的两条边：

• 右端取等（$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}\rvert+\lvert\boldsymbol{b}\rvert$）：三角形退化成一条线段，两向量同向；
• 左端取等（$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\bigl\lvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert\bigr\rvert$）：同样退化成线段，但两向量反向——长的那条被短的那条抵消掉一截。

只要 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，三角形是真的三角形，两个不等号都严格成立。所以

$$E\ \Longrightarrow\ \boldsymbol{a}\ \text{与}\ \boldsymbol{b}\ \text{反向共线}\ \Longrightarrow\ \boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}\ (\lambda<0) .$$

C 成立。 而 A 要的是垂直——垂直时三角形是直角三角形、根本没退化，$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\sqrt{\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}}$ 落在两端之间，等式取不到，A、B 一起倒下。（这里推的是「垂直 $\Rightarrow$ $E$ 不成立」，逆否只给「$E\Rightarrow$ 不垂直」；要判 A 为假而不是空真，还得知道 $E$ 真有向量满足——下一段的取等条件正好给出：$\boldsymbol{a}=(2,0)$、$\boldsymbol{b}=(-1,0)$ 就满足 $E$ 而不垂直。）D 则是把「退化」这一半条件当成了全部：退化有两种，同向那一种落在右端、$E$ 不成立。反过来也别读过头——反向共线只保证 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\bigl\lvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert\bigr\rvert$，要它等于不带外层绝对值的 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert$，还得有 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert$：取 $\boldsymbol{a}=(1,0)$、$\boldsymbol{b}=(-2,0)$ 就是反向共线而 $E$ 不成立（$1\neq 1-2$）。所以 $E$ 与「反向共线」并不等价，是 $E\Rightarrow$ 反向共线这一个方向——而 C 要的正好就是这个方向。

这条路的好处。 全程只用一张图上的三角形，不写一个数量积；代价是「取等条件」得记牢——而这正是它最值得记的地方：左端反向、右端同向。

解法三：四个选项逐条试——三条各给一个反例，剩下那条正面证

怎么想到的。 选项都是全称命题（对一切非零 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 成立），推翻一条只要一个反例；而反例在坐标下最好造。注意：单选题里「排掉三条」不等于第四条被证明了，所以 C 还要单独正面证一次。

先约定坐标。 取 $\boldsymbol{a}=(1,0)$ 作基准，让 $\boldsymbol{b}$ 变；只有 A 那一条要把 $\boldsymbol{a}$ 放长一点，理由见下。

推翻 A（$E\Rightarrow\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$）。 取 $\boldsymbol{a}=(2,0)$、$\boldsymbol{b}=(-1,0)$：

• 前提：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,0)$，$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=1$；$\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert=2-1=1$。前提成立 ✔
• 结论：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2\neq 0$，不垂直。结论不成立 ✔

（这里没有沿用 $\boldsymbol{a}=(1,0)$：那样配 $\boldsymbol{b}=(-1,0)$ 会让 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$，前提照样成立、反例照样有效，只是图上画出来是一个点，看不出「长的被短的抵掉一截」。把 $\boldsymbol{a}$ 拉到 $2$ 就避开了这个退化。）

推翻 B（$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Rightarrow E$）。 取 $\boldsymbol{b}=(0,1)$：

• 前提：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，垂直 ✔
• 结论：$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert(1,1)\rvert=\sqrt{2}$，而 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert=1-1=0$。$\sqrt{2}\neq 0$ ✔

推翻 D（共线 $\Rightarrow E$）。 取 $\boldsymbol{b}=(1,0)$（即 $\lambda=1$）：

• 前提：$\boldsymbol{b}=1\cdot\boldsymbol{a}$，$\lambda$ 存在 ✔
• 结论：$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert(2,0)\rvert=2$，而 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert=0$。$2\neq 0$ ✔

每一个反例都验了两件事：前提成立、结论不成立。只验后一半是无效反例——前提都不成立的例子，推不翻任何蕴含关系。

正面证 C。 设 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert$。两边非负，平方并消去 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}$ 得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert$。写成坐标 $\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$、$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$ 就是

$$x_1x_2+y_1y_2=-\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}} ,$$

两边平方并整理得 $(x_1y_2-x_2y_1)^{2}=0$，即 $x_1y_2-x_2y_1=0$——这正是共线的坐标条件。$\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$，故存在 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$。C 成立，且它不是靠排除得来的。（这一步用的是平面坐标：$x_1y_2-x_2y_1=0$ 是二维的共线判据。本题说的就是平面向量，这样写是常规做法；若要连空间向量一起覆盖，改走解法一那条 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\Rightarrow\cos\theta=-1\Rightarrow\boldsymbol{b}=-\dfrac{\lvert\boldsymbol{b}\rvert}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert}\boldsymbol{a}$ 就不挑维数。）

三条提醒

1. 模的等式先看非负性，再平方。 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert$ 的右边没有外层绝对值，所以它自带一句 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\geqslant\lvert\boldsymbol{b}\rvert$。这句话不写出来，平方这一步就不是等价变形，后面定 $\lambda$ 的范围也无从下手。
2. 共线不分同向反向，就分不出 C 与 D。 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$ 只锁住直线、没锁住朝向：$\lambda>0$ 时 $\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{a}\rvert+\lvert\boldsymbol{b}\rvert$，$\lambda<0$ 时才轮到 $\bigl\lvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert-\lvert\boldsymbol{b}\rvert\bigr\rvert$。C 只往一个方向走（$E\Rightarrow$ 共线），所以对；D 反着走，就撞上了 $\lambda>0$ 那一半。
3. 反例必须两头都验。 「前提成立」与「结论不成立」缺一不可。推翻 B 时若随手取 $\boldsymbol{b}=(1,1)$，结论确实不成立，可前提（垂直）也不成立——这样的例子什么都推不翻，只是一组无关的数。