向量共线不分同向反向

「共线」是一句只管直线、不管方向的话。写成 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$（$\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$）之后，$\lambda$ 的绝对值决定长度之比，$\lambda$ 的符号决定朝向——而后者常常被顺手略过。

两种情形，几乎所有量都不同

设 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 都非零，$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$：

同一条「共线」，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 可以是两条边之和，也可以是两条边之差——差得不能再远了。

三处最容易吃亏

1. 三角形不等式的取等条件。 $\bigl||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|\bigr|\leqslant|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ 两端都在共线时取到，但右端要同向、左端要反向。只记住「共线时取等」，就分不清落在哪一端。
2. 数量积的符号。 由 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\pm|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ 反推方向时，正号对应同向、负号对应反向；把符号丢了，$\theta=0$ 与 $\theta=\pi$ 就并成了一个答案。
3. 「存在实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$」这句话本身。 它只断言共线，$\lambda$ 的正负、大小全是自由的——拿它去推任何一个依赖方向的结论，都会漏掉另一半情形。

稳妥做法

见到 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$，当场把 $\lambda$ 的符号问出来：题目限住了就写清楚是哪一支；没限住就分两种情形各写一遍，最后再合并。反过来，由某个等式推出共线时，也要顺手把这个等式逼出的符号记下来——它往往正是题目真正要的那一半。