向量夹角与模的最值

题型说明

题面长这样：给出两个（常常是单位）向量 $\vec e_1,\vec e_2$，附一个约束 （$|m\vec e_1-n\vec e_2|\leqslant c$、$|\vec e_1+\vec e_2|\geqslant c$ 之类）， 再用它们线性组合出 $\vec a,\vec b$，问 $\cos\theta$、$\cos^2\theta$、$|\vec a+\vec b|$ 这些量的最大或最小值。

主线只有三步，且第一步就把题型定死：

1. 设 $t=\vec e_1\cdot\vec e_2$（等于两基夹角的余弦）。 基是单位向量时 $\vec e_1^2=\vec e_2^2=1$，于是任意两个线性组合的数量积与模平方 全是 $t$ 的一次式——整道题只剩一个未知数。
2. 把约束翻译成 $t$ 的区间。 约束里的模照样平方展开，得到一个关于 $t$ 的一次不等式； 再与 $t\in[-1,1]$（余弦的天然范围）取交，这才是 $t$ 的真范围。
3. 把所求量写成 $t$ 的函数，在那个区间上求最值。 目标常是 $\cos^2\theta=\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^2|\vec b|^2}$ 这种「二次比二次」， 多半能约成「一次比一次」，于是单调、最值在端点。

为什么第一步非得是它

约束与目标表面上都是「模」和「夹角」，看着要两套工具；可模与数量积之间架着 $\vec a^2=|\vec a|^2$ 这座桥， 两边一平方就都变成 $\vec e_1\cdot\vec e_2$ 的多项式。基是单位向量时多项式还降成一次式—— 一个字母管全场，是这类题唯一的技术支点。基不是单位向量时同样能做，只是 $|\vec e_1|,|\vec e_2|$ 也进式子，未知数变三个（题目一般会把它们给成常数）。

常见陷阱

• 只解出约束给的那一侧，忘了 $t\leqslant 1$（或 $t\geqslant-1$）。$t$ 是余弦，天然有界； 端点最值全靠这个界定位置。
• 把「$\cos^2\theta$ 最小」读成「$\theta$ 最小」。 $\theta\in[0,\pi]$ 上 $\cos^2\theta$ 最小意味着 $\theta$ 最靠近 $\frac\pi2$，与 $\theta$ 本身的大小不是一件事。
• 不判单调就直接代端点（或反过来，一上来就求导找内部驻点）。一次比一次的分式 在区间上没有驻点，先说清单调方向，端点代哪一个才有依据。
• 忘了检查取等能不能达到：$t$ 的端点必须是余弦真取得到的值。