浙江 2011 · 数学 q14

冷启动：把「面积」翻成含 $\theta$ 的式子

以 $\vec\alpha$、$\vec\beta$ 为邻边的平行四边形，面积等于底乘高：

$$S=|\vec\alpha|\,|\vec\beta|\sin\theta ,$$

其中 $\theta$ 是两向量的夹角。（$\theta$ 是向量夹角，按定义就落在 $[0,\pi]$ 里， 所以 $\sin\theta\geq 0$，写 $\sin\theta$ 不用加绝对值——这一条后面要反复用。）

题给 $S=\dfrac12$、$|\vec\alpha|=1$，于是

$$|\vec\beta|\sin\theta=\frac{1}{2} .$$

左边这个量有个几何名字：把 $\vec\alpha$ 的方向当底边，$|\vec\beta|\sin\theta$ 正是 $\vec\beta$ 的终点到底边所在直线的距离。所以题目其实说的是一句话： 「$\vec\beta$ 的终点被钉在一条与 $\vec\alpha$ 平行、距离 $\frac12$ 的直线上， 而且离原点不超过 $1$」。

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解法一：面积公式一步到位——$\sin\theta=\frac{1}{2|\vec\beta|}\geq\frac12$

由 $|\vec\alpha||\vec\beta|\sin\theta=\dfrac12$ 与 $|\vec\alpha|=1$ 得

$$\sin\theta=\frac{1}{2|\vec\beta|} .$$

（这里已经隐含 $|\vec\beta|\neq 0$——否则面积是 $0$，不可能等于 $\frac12$。）

必要性：$0<|\vec\beta|\leq 1$，倒数放大不等号，

$$\sin\theta=\frac{1}{2|\vec\beta|}\geq\frac{1}{2\times 1}=\frac{1}{2} .$$

又 $\theta\in[0,\pi]$，在这段上 $\sin\theta\geq\dfrac12$ 的解是

$$\theta\in\left[\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}\right]=[30^{\circ},150^{\circ}] .$$

充分性（这一半不能省）：反过来，任取 $\theta\in[30^{\circ},150^{\circ}]$，令

$$|\vec\beta|=\frac{1}{2\sin\theta} .$$

由 $\dfrac12\leq\sin\theta\leq 1$ 得 $\dfrac12\leq|\vec\beta|\leq 1$，条件 $|\vec\beta|\leq1$ 满足， 面积也恰好是 $\frac12$。所以区间里每个角都真能取到，端点 $30^{\circ}$、$150^{\circ}$ 由 $|\vec\beta|=1$ 取到。

答案 $[30^{\circ},150^{\circ}]$（即 $\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$）。

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解法二：看「高」——终点被钉在单位圆内那条水平弦上

把 $\vec\alpha$ 摆在水平方向，两个向量都从原点出发。

• 条件 $|\vec\beta|\sin\theta=\dfrac12$ 说：$\vec\beta$ 的终点到水平轴的距离是 $\frac12$。 因 $\theta\in[0,\pi]$，终点在上半平面，所以它落在直线 $y=\frac12$ 上。
• 条件 $|\vec\beta|\leq1$ 说：终点在单位圆盘内。

两者一交，终点的活动范围就是直线 $y=\frac12$ 被单位圆截出的那条弦：

$$x^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}\leq 1\ \Longrightarrow\ |x|\leq\frac{\sqrt3}{2} .$$

而 $\theta$ 就是终点相对于正 $x$ 轴的极角。终点从弦的右端 $\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ 滑到左端 $\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ 时，极角从

$$\theta=\arctan\frac{1/2}{\sqrt3/2}=30^{\circ} \qquad\text{连续增到}\qquad \theta=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ} ,$$

中间不跳（极角在这条弦上是 $x$ 的连续、严格递减函数），所以取遍 $[30^{\circ},150^{\circ}]$——一个不多，一个不少。

答案 $[30^{\circ},150^{\circ}]$。

这条路的好处：范围的两端不是解不等式解出来的，而是看出来的—— 弦的两个端点就在单位圆上，对应 $|\vec\beta|=1$ 这个最省力的极端情形。

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解法三：坐标法——$\vec\alpha=(1,0)$，面积就是纵坐标的绝对值

不想记面积公式，就直接设坐标。夹角与面积都只与两向量的相对位置有关， 不妨把 $\vec\alpha$ 转到正 $x$ 轴上：

$$\vec\alpha=(1,0),\qquad \vec\beta=(x,y) .$$

平行四边形面积等于两向量坐标的叉积绝对值：

$$S=\left|\,1\cdot y-0\cdot x\,\right|=|y|=\frac{1}{2} .$$

因 $\theta\in[0,\pi]$，可取 $y=\dfrac12$（取 $y=-\frac12$ 只是把图翻到下半平面，夹角一样）。 再由 $|\vec\beta|\leq1$：

$$x^{2}+\frac14\leq 1\ \Longrightarrow\ -\frac{\sqrt3}{2}\leq x\leq\frac{\sqrt3}{2} .$$

夹角由余弦定出：

$$\cos\theta=\frac{\vec\alpha\cdot\vec\beta}{|\vec\alpha||\vec\beta|} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+\frac14}} .$$

记 $h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+\frac14}}$，求导即知它严格递增：

$$h'(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+\frac14}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+\frac14}}}{x^{2}+\frac14} =\frac{\frac14}{\left(x^{2}+\frac14\right)^{3/2}}>0 .$$

于是 $\cos\theta$ 随 $x$ 严格递增，在 $x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ 处取到

$$\cos\theta=\pm\frac{\sqrt3/2}{1}=\pm\frac{\sqrt3}{2} .$$

所以 $\cos\theta\in\left[-\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right]$，而 $\cos$ 在 $[0,\pi]$ 上严格递减，

$$\theta\in[30^{\circ},150^{\circ}] .$$

答案 $[30^{\circ},150^{\circ}]$。

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三条路怎么选

• 解法一最短，填空题就写它。要点是别忘了充分性：一串不等号只给出「$\theta$ 必须在这个区间里」， 还得回头说明区间里每个角都真能配一个合法的 $|\vec\beta|$。
• 解法二把两个条件都画成图形（一条直线、一个圆盘），交出来的弦一眼给出两端。 变式题把 $|\vec\beta|\leq1$ 换成 $|\vec\beta|\in[\frac34,2]$ 之类时，这条路只需重画圆环，最不容易错。
• 解法三最机械，不依赖任何几何直觉，代价是多算一步 $\cos\theta$ 的单调性。

易错

• 只写 $\theta=30^{\circ}$。$\sin\theta=\frac12$ 在 $[0,\pi]$ 上有两个解 $30^{\circ}$ 与 $150^{\circ}$， 钝角那一支同样能围出面积 $\frac12$ 的平行四边形 （详见易错点「由正弦值定角漏解」）。
• 端点开闭写反。$|\vec\beta|\leq1$ 里的等号能取到（取 $|\vec\beta|=1$）， 对应 $\sin\theta=\frac12$ 的两个端点角，所以区间是闭的 （详见易错点「不等式求最值漏验等号」）。
• 漏掉 $|\vec\beta|\geq\frac12$ 这个隐含条件。由 $\sin\theta\leq1$ 与 $|\vec\beta|\sin\theta=\frac12$ 得 $|\vec\beta|\geq\frac12$：太短的 $\vec\beta$ 连 $\frac12$ 的高都够不着。 本题没问 $|\vec\beta|$，但变式题常在这里设问。
• 把 $\theta$ 的范围当成 $[0,2\pi)$。向量夹角按定义只取 $[0,\pi]$， 所以不存在 $210^{\circ}$、$330^{\circ}$ 这样的解；若按 $[0,2\pi)$ 解 $\sin\theta\geq\frac12$， 会凭空多写出一段。
• 把面积当成 $\frac12|\vec\alpha||\vec\beta|\sin\theta$。那是三角形的面积； 平行四边形是它的两倍。原卷解析里出现的 $\frac14$ 正是对角线切出的那个三角形的面积， 别把两者混起来。