2.4.2 圆的一般方程

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文字转写

x−3y−3=0.x - 3 y - 3 = 0.

由垂径定理可知，圆心 C 也在线段 AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组

{x−3y−3=0,x−y+1=0\left\{ \begin{array}{l} x - 3 y - 3 = 0, \\ x - y + 1 = 0 \end{array} \right.

的解.

解这个方程组，得

{x=−3,y=−2.\left\{ \begin{array}{l} x = - 3, \\ y = - 2. \end{array} \right.

所以圆心 C 的坐标是 (−3,−2)(-3, -2) .

圆的半径

r=∣AC∣=(1+3)2+(1+2)2=5.r = | A C | = \sqrt {(1 + 3) ^ {2} + (1 + 2) ^ {2}} = 5.

所以，所求圆的标准方程是

(x+3)2+(y+2)2=25.(x + 3) ^ {2} + (y + 2) ^ {2} = 2 5.

练习

  1. 写出下列圆的标准方程：

(1) 圆心为 C(−3,4)C(-3, 4) ，半径是 5\sqrt{5} ;

(2) 圆心为 C(−8,3)C(-8, 3) ，且经过点 M(−5,−1)M(-5, -1) .

  1. 已知圆的标准方程是 (x−3)2+(y+2)2=16(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内.

(1) M1(4.30,−5.72)M_{1}(4.30, -5.72); (2) M2(5.70,1.08)M_{2}(5.70, 1.08); (3) M3(3,−6)M_{3}(3, -6).

  1. 已知 P1(4,9)P_{1}(4, 9), P2(6,3)P_{2}(6, 3) 两点, 求以线段 P1P2P_{1}P_{2} 为直径的圆的标准方程, 并判断点 M(6,9)M(6, 9), N(3,3)N(3, 3), Q(5,3)Q(5, 3) 在圆上、圆内, 还是在圆外.

  2. 已知 △AOB\triangle AOB 的三个顶点分别是点 A(4,0)A(4,0), O(0,0)O(0,0), B(0,3)B(0,3), 求 △AOB\triangle AOB 的外接圆的标准方程.

2.4.2 圆的一般方程

思考

我们知道，方程 (x−1)2+(y+2)2=4(x - 1)^2 +(y + 2)^2 = 4 表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆．可以将此方程变形为 x2+y2−2x+4y+1=0.x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 1 = 0.

一般地，圆的标准方程 (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 +(y - b)^2 = r^2 可以变形为

x ^ {2} + y ^ {2} + D x + E y + F = 0\tag{2}

的形式. 反过来, 形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?

例如，对于方程 x2+y2−2x−4y+6=0x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 6 = 0 ，对其进行配方，得 (x−1)2+(y−2)2=−1(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = -1 因为任意一个点的坐标 (x,y)(x, y) 都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形。所以，形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程。这表明，形如(2)的方程不一定是圆的方程。

探究

方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 中的 D,E,FD, E, F 满足什么条件时，这个方程表示圆？

将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得

\left(x + \frac {D}{2}\right) ^ {2} + \left(y + \frac {E}{2}\right) ^ {2} = \frac {D ^ {2} + E ^ {2} - 4 F}{4}.\tag{①}

（1）当 D2+E2−4F>0D^{2} + E^{2} - 4F > 0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, - \frac{E}{2}\right) 为圆心， 12D2+E2−4F\frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} 为半径的圆；

(2) 当 D2+E2−4F=0D^{2} + E^{2} - 4F = 0 时，方程(2) 只有实数解 x=−D2x = -\frac{D}{2} ， y=−E2y = -\frac{E}{2} ，它表示一个点 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) ;

(3) 当 D2+E2−4F<0D^{2} + E^{2} - 4F < 0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.

因此，当 D2+E2−4F>0D^{2} + E^{2} - 4F > 0 时，方程(2)表示一个圆．我们把方程(2)叫做圆的一般方程（general equation of circle).

思考

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

例 4 求过三点 O(0,0)O(0, 0) ， M1(1,1)M_{1}(1, 1) ， M2(4,2)M_{2}(4, 2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

分析：将点 O,M1,M2O, M_{1}, M_{2} 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.

解：设圆的方程是

x ^ {2} + y ^ {2} + D x + E y + F = 0.\tag{①}

因为 O,M1,M2O, M_{1}, M_{2} 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解。把它们的坐标依次代入方程①，得到关于 D,E,FD, E, F 的一个三元一次方程组

{F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0.\left\{ \begin{array}{l} F = 0, \\ D + E + F + 2 = 0, \\ 4 D + 2 E + F + 2 0 = 0. \end{array} \right.

解这个方程组，得

{D=−8,E=6,F=0.\left\{ \begin{array}{l} D = - 8, \\ E = 6, \\ F = 0. \end{array} \right.

所以，所求圆的方程是

x2+y2−8x+6y=0.x ^ {2} + y ^ {2} - 8 x + 6 y = 0.

由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是（4，-3），半径 r=12D2+E2−4F=5.r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = 5.

与例 2 的方法比较， 你有什么体会？

求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：

(1) 根据题意, 选择标准方程或一般方程;

(2) 根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组；

(3) 解出 a, b, r 或 D, E, F, 得到标准方程或一般方程.

例 5 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3)(4, 3) ，端点 A 在圆 (x+1)2+y2=4(x+1)^{2}+y^{2}=4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

分析：如图2.4-4，点 AA 运动引起点 MM 运动，而点 AA 在已知圆上运动，点 AA 的坐标满足方程 (x+1)2+y2=4(x + 1)^2 + y^2 = 4 建立点 MM 与点 AA 坐标之间的关系，就可以利用点 AA 的坐标所满足的关系式得到点 MM 的坐标满足的关系式，求出点 MM 的轨迹方程.

解：设点 M 的坐标是 (x,y)(x, y) ，点 A 的坐标是 (x0,y0)(x_{0}, y_{0}) 。由于点 B 的坐标是 (4,3)(4, 3) ，且 M 是线段 AB 的中点，所以

图2.4-4

x=x0+42,y=y0+32.x = \frac {x _ {0} + 4}{2}, y = \frac {y _ {0} + 3}{2}.

于是有

x _ {0} = 2 x - 4, y _ {0} = 2 y - 3.\tag{①}

因为点 A 在圆 (x+1)2+y2=4(x+1)^{2}+y^{2}=4 上运动，所以点 A 的坐标满足圆的方程，即

(x _ {0} + 1) ^ {2} + y _ {0} ^ {2} = 4.\tag{②}

把①代入②，得

(2x−4+1)2+(2y−3)2=4,(2 x - 4 + 1) ^ {2} + (2 y - 3) ^ {2} = 4,

整理，得

• •

点 M 的轨迹方程是指点 M 的坐标 (x,y)(x, y) 满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形。在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）。

(x−32)2+(y−32)2=1.\left(x - \frac {3}{2}\right) ^ {2} + \left(y - \frac {3}{2}\right) ^ {2} = 1.

这就是点 MM 的轨迹方程，它表示以 (32,32)\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) 为圆心，半径为1的圆.

练习

  1. 求下列各圆的圆心坐标和半径： (1) x2+y2−6x=0;x^{2} + y^{2} - 6x = 0; (2) x2+y2+2by=0;x^{2} + y^{2} + 2by = 0; (3) x2+y2−2ax−23ay+3a2=0.x^{2} + y^{2} - 2ax - 2\sqrt{3}ay + 3a^{2} = 0.

  2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由： (1) x2+y2=0;x^{2}+y^{2}=0; (2) x2+y2−2x+4y−6=0;x^{2}+y^{2}-2x+4y-6=0; (3) x2+y2+2ax−b2=0.x^{2} + y^{2} + 2ax - b^{2} = 0.

  3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，CD=3，且 AB∥CDAB \parallel CD ，AD=BC，AB 与 CD 间的距离为 3. 求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

(第3题)

习题2.4

复习巩固

  1. 求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形： (1) x2+y2−2x−5=0;x^{2}+y^{2}-2x-5=0; (2) x2+y2+2x−4y−4=0;x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0; (3) x2+y2+2ax=0;x^{2}+y^{2}+2ax=0; (4) x2+y2−2by−2b2=0.x^{2}+y^{2}-2by-2b^{2}=0.

  2. 求下列各圆的方程，并画出图形：

(1) 圆心为点 C(8,−3)C(8, -3) ，且过点 A(5,1)A(5, 1) ;

(2) 过 A(−1,5)A(-1, 5) , B(5,5)B(5, 5) , C(6,−2)C(6, -2) 三点.

  1. 已知圆 C 经过原点和点 A(2, 1)，并且圆心在直线 l: x - 2y - 1 = 0 上，求圆 C 的标准方程.

  2. 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过 A(-1, 1) 和 B(1, 3) 两点，求圆 C 的方程.

综合运用

  1. 已知圆的一条直径的端点分别是 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2}, y_{2})，求证此圆的方程是

(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0.(x - x _ {1}) (x - x _ {2}) + (y - y _ {1}) (y - y _ {2}) = 0.

  1. 平面直角坐标系中有 A(0,1)A(0, 1), B(2,1)B(2, 1), C(3,4)C(3, 4), D(−1,2)D(-1, 2) 四点, 这四点是否在同一个圆上? 为什么?

  2. 已知等腰三角形 ABCABC 的一个顶点为 A(4,2)A(4, 2)，底边的一个端点为 B(3,5)B(3, 5)，求底边的另一个端点 CC 的轨迹方程，并说明它是什么图形.

  1. 长为 2a2a 的线段 ABAB 的两个端点 AA 和 BB 分别在 xx 轴和 yy 轴上滑动，求线段 ABAB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

拓广探索

  1. 已知动点 MM 与两个定点 O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) 的距离的比为 12\frac{1}{2}, 求动点 MM 的轨迹方程, 并说明轨迹的形状.

  2. 在平面直角坐标系中，如果点 PP 的坐标 (x,y)(x, y) 满足

{x=a+rcos⁡θ,y=b+rsin⁡θ,\left\{ \begin{array}{l} x = a + r \cos \theta , \\ y = b + r \sin \theta , \end{array} \right.

其中 θ\theta 为参数. 证明：点 PP 的轨迹是圆心为 (a,b)(a, b)，半径为 rr 的圆.

? 阅读与思考

坐标法与数学机械化

笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河。解析几何坐标法的形成、发展和完善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解。同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能。

明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646—1716，微积分创始人之一）。他受笛卡儿思想的启发，认为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算。遗憾的是，由于当时的条件限制，计算仅仅是手工操作（手摇计算机），无法进行大量复杂的计算，所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现。

20世纪以后，计算机迅速发展。计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性。1950年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定。由于他的判定方法太复杂，在实践中没有太大的进展。1959年，美籍华裔数学家王浩（1921—1995）在这方面做出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了9分钟就证明了《数学原理》（罗素和怀特海著）中的350多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号。

20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，并创立了“吴方法”。吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一。他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献。曾获得首届国家最高科学技术奖（2000年）、首届国家自然科学一等奖（1956年）、首届求是杰出科学家奖（1994年）、邵逸夫数学奖（2006年）、国际自动推理最高奖——埃尔布朗自动推理杰出成就奖（1997年）等。“文华逾九章，拓扑公式彪史册。俊杰胜十书，机器证明誉寰球。”是对他一生工作的高度概括。

吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的。他认为，欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，

吴文俊（1919—2017），中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员

或者干脆排除数量关系。另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关系来处理。这种考虑方式就是中国的传统，早在11世纪左右就已产生，当时引进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了 xx，yy 等。用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程（即 xx，yy 之间的一种方程），即17世纪解析几何的坐标法。

吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的，把空间形式数量化是机械化的。吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程。满足定理假设的几何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点。要证明定理成立，就是要证明假设方程的零点也使终结多项式为零。”由于计算机的发展与众多数学家（特别是以吴文俊为首的一批中国数学家）的努力，在1976年与1977年之交，几何定理机器证明的梦想终于实现了。提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作。进入20世纪80年代以后，吴文俊和他的同行把几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法。

请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械化方面的卓越贡献。