2.4.2 圆的一般方程

上一节把圆写成 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$——圆心与半径明摆在式子里。这一节把它展开，换成另一种写法，并回答一个不那么显然的问题：展开后的那种式子，是不是都表示圆？

整节的骨架只有三句：

• 展开：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，这个方向永远成立。
• 配方回去要带条件：$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ 只有在 $D^{2}+E^{2}-4F>0$ 时才是圆。
• 一般方程的用处是待定系数法：$D$、$E$、$F$ 都以一次的身份出现，「过三点求圆」就变成解三元一次方程组。

一、展开：一般方程长什么样

课本的”思考”从一个具体例子起手：$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4$ 展开、移项，得

$$x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0 .$$

一般地，把标准方程展开：

$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}\underbrace{-2a}_{D}x+\underbrace{(-2b)}_{E}y+\underbrace{a^{2}+b^{2}-r^{2}}_{F}=0 .$$

于是任何圆都能写成

$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 . \tag{2}$$

注意这三个记号的来历：$D=-2a$、$E=-2b$、$F=a^{2}+b^{2}-r^{2}$。前两个只跟圆心有关，第三个把半径也裹进去了——这就是为什么反过来读时，半径能不能开出来要看 $F$ 与 $D,E$ 的搭配。

二、反过来不一定是圆：课本给的反例

课本紧接着问：形如 (2) 的方程一定能变回圆的标准方程吗？答案是不一定，反例就在下一页：

$$x^{2}+y^{2}-2x-4y+6=0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=-1 .$$

左边是两个平方之和，永远 $\geqslant 0$，不可能等于 $-1$——没有任何点的坐标满足它，这个方程不表示任何图形。

这一步值得慢半拍：它说明「$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$」只是一个形式，配方之后右边到底是正、是零、还是负，得算过才知道。先算判据、再说圆心半径，顺序不能颠倒。

三、判据：配方一次，三种情形一次分清

课本的”探究”问：$D,E,F$ 满足什么条件时 (2) 表示圆？把左边配方、常数移到右边：

$$\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$$

右边的符号决定一切：

只有第一种情形，我们才把 (2) 叫做圆的一般方程。

三件立刻要记住的事：

1. 圆心的坐标是”系数除以 $-2$”：$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。别把负号丢了，也别只给一半。
2. 半径不是 $\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$，而是它的一半。这个 $\frac{1}{2}$ 是从右边分母的 $4$ 里开出来的。
3. 判据可以不背：现场配方一次，右边是什么就看什么。考试里配方比背判据更保险——顺带还把圆心一并读出来了。

形式上的两个门槛（拿到一个二元二次方程，先看这两条再动手）：$x^{2}$ 与 $y^{2}$ 的系数必须相同且非零，且不含 $xy$ 项。系数不是 $1$ 时先整体除掉，再算判据；否则「$2x^{2}+2y^{2}-4x=0$」这种式子会算出错的圆心。

四、两种写法各自的特点

课本的”思考”问：标准方程与一般方程各有什么特点？把它们摆在一起看最清楚：

一句话：读几何量用标准方程，解方程组用一般方程。两者只差一步配方，答案写哪种都对，但中间过程选错会多算好几行。

五、待定系数法：例 4 与那三步

课本例 4 求过 $O(0,0)$、$M_{1}(1,1)$、$M_{2}(4,2)$ 三点的圆。关键在于选一般方程：三个点代进去，每个点给一条关于 $D,E,F$ 的一次方程：

$$\left\{ \begin{array}{l} F=0,\\ D+E+F+2=0,\\ 4D+2E+F+20=0 . \end{array} \right. \;\Longrightarrow\; \left\{ \begin{array}{l} D=-8,\\ E=6,\\ F=0 . \end{array} \right.$$

所以圆的方程是 $x^{2}+y^{2}-8x+6y=0$；再按第三节读出圆心 $(4,-3)$、半径

$$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{64+36}=5 .$$

与”设标准方程”比一比（课本旁批问的正是这个）：若设 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，三个点给出的是三条含平方的方程，得先两两相减把平方消掉——多绕一圈。所以：“过三点”一律设一般方程。

课本随后把待定系数法的步骤明写了出来：

1. 根据题意，选标准方程或一般方程；
2. 根据条件列关于 $a,b,r$ 或 $D,E,F$ 的方程组；
3. 解出来，回写成方程。

第一步才是真正的技术活。给一个够用的判断表：

• 给了圆心、或圆心在某条直线上、或给了半径 → 标准方程（未知量少，几何意义直接）；
• 给了圆上的三个点、或”过某两点且……”这类纯”点在圆上”的条件 → 一般方程；
• 拿不准时想一句：我的条件是”点在圆上”多，还是”圆心半径”多。

六、例 5：轨迹方程，与”代入法”

课本例 5：$B(4,3)$ 固定，$A$ 在圆 $(x+1)^{2}+y^{2}=4$ 上动，求 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹方程。

课本走的是相关点法（代入法），三步：

1. 设两套坐标：$M(x,y)$ 是要求的，$A(x_{0},y_{0})$ 是”带着约束的那个点”；
2. 用中点关系把老坐标换成新坐标：$x=\frac{x_{0}+4}{2}$、$y=\frac{y_{0}+3}{2}$，反解得 $x_{0}=2x-4$、$y_{0}=2y-3$；
3. 把 $A$ 的约束代进去：$A$ 在圆上意味着 $(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}=4$，代入并整理：

$$(2x-4+1)^{2}+(2y-3)^{2}=4 \;\Longrightarrow\; \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=1 .$$

于是 $M$ 的轨迹是以 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆。

这套方法的逻辑要说清：第 2 步的反解是等价变形（中点关系是一对一的），所以”$A$ 在圆上”与”$M$ 满足最后那个方程”互为充要——这才叫求出了轨迹方程，而不只是”找到了一个必要条件”。

课本旁边那条注解值得抄一遍：点 $M$ 的轨迹方程是指点 $M$ 的坐标 $(x,y)$ 满足的关系式；轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形。两者一个是式子、一个是图形，答题时问”方程”就给式子、问”轨迹（形状）“就补一句”它是以……为圆心、……为半径的圆”。

顺带记住这个几何解释：中点 $M$ 把 $A$ 到 $B$ 的位移压缩了一半，所以 $A$ 画圆时 $M$ 也画圆——半径变成一半（$2\to 1$），圆心落在原圆心与 $B$ 的中点（$\left(\frac{-1+4}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$，与算出来的一致）。这种”看一眼就知道答案该长什么样”的检查点，能挡住一大半代数错误。

七、易错清单（按失分频率排）

1. 不验判据就报圆心半径。$x^{2}+y^{2}-2x-4y+6=0$ 看着像圆，其实什么都不是。先配方，再说话。
2. 半径漏掉 $\frac{1}{2}$。$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$；直接开根号会把半径放大一倍。
3. 圆心的负号。$D=-8$ 时圆心横坐标是 $-\frac{D}{2}=4$，不是 $-4$。配方写出来最不容易错。
4. $x^{2}$、$y^{2}$ 的系数不是 $1$ 就直接套判据。先整体除以那个系数。
5. “过三点”还去设标准方程。不是错，是慢：平方项要两两相减才消得掉。
6. 判据取等时说成”半径为零的圆”。$D^{2}+E^{2}-4F=0$ 表示一个点；圆的半径必须为正。
7. 求轨迹方程忘了扣掉不合题意的点。等腰三角形、三角形顶点这类题，退化位置（三点共线、两点重合）要从轨迹里去掉。
8. 只写方程不说形状。题目问”并说明它是什么图形”时，答案要有”以……为圆心、……为半径的圆”这句话。

八、这一节考过的真题（怎么用它们）

别的节页下方有一块「考过本节的真题」（构建期两跳派生：节 $\leftarrow$ 实体 $\leftarrow$ 攻略），本节暂时没有这一块——浙江卷的圆题从不单考”一般方程”这个形式，而是把它当中间件：先由条件定出圆心与半径，再接着做位置关系或最值，于是攻略挂的实体多半落在别的节上。下面这两条是自己找来配的：

• 2019 年第 12 题（直线 $2x-y+3=0$ 切圆于 $A(-2,-1)$，圆心 $(0,m)$，求 $m$ 与 $r$）：这是本节”待定系数”的最短版本——两个未知量、两条方程。它还给了一条比”相切”更强的条件（切点），于是有一条更快的几何路：圆心在过切点的法线上。做完它再回看第五节那张”选哪种方程”的判断表，会更有体会。
• 本节的例 5 与习题里的 7、8、9 三道轨迹题是同一套动作（设两套坐标、把约束代进去），而”距离之比为定值”的第 9 题（阿波罗尼斯圆）在各地模拟卷里反复出现，值得单独练熟。

这一份收本节这几页上印着的全部习题：第 90 页练习 4 道（那是 §2.4.1 标准方程的练习，但它印在本节这几页里）、第 93 页练习 3 道、习题 2.4 共 10 道（复习巩固 1–4、综合运用 5–8、拓广探索 9–10），一共 17 道。第 94–95 页的「阅读与思考·坐标法与数学机械化」是史料读物，没有要作答的问题，本份不收。

先把两件贯穿全部题目的事摆出来，后面就不重复了：

• 配方是唯一的动作。$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ 一律现场配方成 $\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$，右边的符号决定它是圆、是一个点，还是什么都不是；圆心与半径也一并读出来，不必背判据。
• 判断点与圆的位置关系，比的是距离的平方。$|PC|^{2}$ 与 $r^{2}$ 谁大：小于是圆内、等于是圆上、大于是圆外。别开根号——平方比大小又快又不出错。

练习（第 90 页）第 1 题

1. 写出下列圆的标准方程：

(1) 圆心为 $C(-3, 4)$ ，半径是 $\sqrt{5}$ ;

(2) 圆心为 $C(-8, 3)$ ，且经过点 $M(-5, -1)$ .

前提：标准方程是 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中 $(a,b)$ 是圆心、$r>0$ 是半径。圆心的坐标进式子要变号，这是唯一容易错的地方。

(1) 圆心 $(-3,4)$、$r=\sqrt{5}$，故 $r^{2}=5$：

$$(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=5 .$$

（$a=-3$ 写进去是 $x-(-3)=x+3$；$b=4$ 写进去是 $y-4$。）

(2) 圆心 $C(-8,3)$，半径是它到 $M(-5,-1)$ 的距离，先算 $r^{2}$，不必开根号：

$$r^{2}=(-5-(-8))^{2}+(-1-3)^{2}=3^{2}+(-4)^{2}=9+16=25 ,$$

所以

$$(x+8)^{2}+(y-3)^{2}=25 .$$

自检：把 $M(-5,-1)$ 代回，$(-5+8)^{2}+(-1-3)^{2}=9+16=25$ ✓。

这道题的动作：读出圆心与半径，直接填进标准方程；半径由”圆心到已知点”给出时，只算平方。

练习（第 90 页）第 2 题

2. 已知圆的标准方程是 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内.

(1) $M_{1}(4.30, -5.72)$; (2) $M_{2}(5.70, 1.08)$; (3) $M_{3}(3, -6)$.

前提：圆心 $C(3,-2)$，$r^{2}=16$（$r=4$）。判断标准是 $|MC|^{2}$ 与 $16$ 比大小。

(1) $M_{1}(4.30,-5.72)$：

$$|M_{1}C|^{2}=(4.30-3)^{2}+(-5.72+2)^{2}=1.30^{2}+(-3.72)^{2}=1.69+13.8384=15.5284<16 ,$$

所以 $M_{1}$ 在圆内（$|M_{1}C|\approx 3.941<4$）。

(2) $M_{2}(5.70,1.08)$：

$$|M_{2}C|^{2}=(5.70-3)^{2}+(1.08+2)^{2}=2.70^{2}+3.08^{2}=7.29+9.4864=16.7764>16 ,$$

所以 $M_{2}$ 在圆外（$|M_{2}C|\approx 4.096>4$）。

(3) $M_{3}(3,-6)$：

$$|M_{3}C|^{2}=(3-3)^{2}+(-6+2)^{2}=0+16=16 ,$$

所以 $M_{3}$ 在圆上。

自检：三个点的判定与”离圆心远近”的直觉一致——$M_{1}$ 的两个坐标差最小，$M_{2}$ 最大。注意 (1)(2) 两个点都很接近圆，差值只有 $0.5$ 与 $0.8$，所以必须算，不能看图猜（这也是题目要求”借助计算工具”的原因）。

这道题的动作：代进左边算出来，与 $r^{2}$ 比大小；小于在内、等于在上、大于在外。

练习（第 90 页）第 3 题

3. 已知 $P_{1}(4, 9)$, $P_{2}(6, 3)$ 两点, 求以线段 $P_{1}P_{2}$ 为直径的圆的标准方程, 并判断点 $M(6, 9)$, $N(3, 3)$, $Q(5, 3)$ 在圆上、圆内, 还是在圆外.

前提：以一条线段为直径的圆，圆心是这条线段的中点、半径是它长度的一半。

圆心（中点公式）：

$$C=\left(\frac{4+6}{2},\frac{9+3}{2}\right)=(5,6) .$$

半径的平方（用 $r=\frac{1}{2}|P_{1}P_{2}|$，故 $r^{2}=\frac{1}{4}|P_{1}P_{2}|^{2}$）：

$$|P_{1}P_{2}|^{2}=(6-4)^{2}+(3-9)^{2}=4+36=40 \;\Longrightarrow\; r^{2}=\frac{40}{4}=10 .$$

所以标准方程是

$$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=10 .$$

更省事的等价做法：$r^{2}=|CP_{1}|^{2}=(4-5)^{2}+(9-6)^{2}=1+9=10$，同样的答案，少算一次除法。

三个点（都与 $10$ 比）：

• $M(6,9)$：$(6-5)^{2}+(9-6)^{2}=1+9=10$ → 在圆上；
• $N(3,3)$：$(3-5)^{2}+(3-6)^{2}=4+9=13>10$ → 在圆外；
• $Q(5,3)$：$(5-5)^{2}+(3-6)^{2}=0+9=9<10$ → 在圆内。

自检：$P_{1}$、$P_{2}$ 必须在圆上——$(4-5)^{2}+(9-6)^{2}=10$ ✓，$(6-5)^{2}+(3-6)^{2}=10$ ✓。

这道题的动作：“以某线段为直径”就翻成”中点是圆心、半长是半径”，然后按上一题的办法判点。

练习（第 90 页）第 4 题

4. 已知 $\triangle AOB$ 的三个顶点分别是点 $A(4,0)$, $O(0,0)$, $B(0,3)$, 求 $\triangle AOB$ 的外接圆的标准方程.

先看清这个三角形的形状：$O$ 是原点，$A$ 在 $x$ 轴上、$B$ 在 $y$ 轴上，所以 $OA\perp OB$——这是一个以 $O$ 为直角顶点的直角三角形。

于是用一条初中结论最快：直角三角形的外接圆以斜边为直径（直径所对的圆周角是直角，反过来也成立）。斜边是 $AB$，于是回到上一题的模型：

• 圆心 = $AB$ 的中点 $=\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(2,\frac{3}{2}\right)$；
• $|AB|^{2}=(0-4)^{2}+(3-0)^{2}=16+9=25$，故 $r^{2}=\frac{25}{4}$（即 $r=\frac{5}{2}$）。

所求外接圆的标准方程是

$$(x-2)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4} .$$

自检（三个顶点都得在圆上）：

• $O(0,0)$：$4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$ ✓
• $A(4,0)$：$(4-2)^{2}+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$ ✓
• $B(0,3)$：$4+\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$ ✓

不用巧的做法也行：设圆心 $(a,b)$ 到三点等距，由 $|CO|=|CA|$ 得 $a=2$、由 $|CO|=|CB|$ 得 $b=\frac{3}{2}$（这两步就是”到两点等距 $\Rightarrow$ 在垂直平分线上”），结论相同。

这道题的动作：先看有没有直角；有直角就直接用”斜边为直径”，比解方程组快。

练习（第 93 页）第 1 题

1. 求下列各圆的圆心坐标和半径： (1) $x^{2} + y^{2} - 6x = 0;$ (2) $x^{2} + y^{2} + 2by = 0;$ (3) $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2\sqrt{3}ay + 3a^{2} = 0.$

动作只有一个：配方。 含字母的题还要交代字母的前提——半径必须为正，否则那个方程根本不是圆。

(1) $x^{2}-6x+y^{2}=0$，对 $x$ 配方：

$$(x-3)^{2}+y^{2}=9 .$$

圆心 $(3,0)$，半径 $3$。（这个圆过原点：$F=0$ 就意味着原点在圆上。）

(2) 对 $y$ 配方：

$$x^{2}+(y+b)^{2}=b^{2} .$$

当 $b\neq 0$ 时，圆心 $(0,-b)$、半径 $|b|$。半径要写绝对值——题目没说 $b>0$。

若 $b=0$，方程成为 $x^{2}+y^{2}=0$，只表示原点这一个点，不是圆（这正是下一题第 (1) 问）。

(3) 两个变量各自配方：

$$(x-a)^{2}+\left(y-\sqrt{3}\,a\right)^{2}=a^{2}+3a^{2}-3a^{2}=a^{2} .$$

当 $a\neq 0$ 时，圆心 $\left(a,\sqrt{3}\,a\right)$、半径 $|a|$；$a=0$ 时退化成原点一个点。

自检（用判据核一遍 (3)）：$D=-2a$、$E=-2\sqrt{3}a$、$F=3a^{2}$，则

$$D^{2}+E^{2}-4F=4a^{2}+12a^{2}-12a^{2}=4a^{2} \;\Longrightarrow\; r=\frac{1}{2}\sqrt{4a^{2}}=|a| \ \checkmark$$

圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)=\left(a,\sqrt{3}a\right)$ ✓。

这道题的动作：配方读圆心与半径；带字母就补一句”何时才是圆”，半径写成绝对值。

练习（第 93 页）第 2 题

2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由： (1) $x^{2}+y^{2}=0;$ (2) $x^{2}+y^{2}-2x+4y-6=0;$ (3) $x^{2} + y^{2} + 2ax - b^{2} = 0.$

判据：配方后右边 $\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$ 为正是圆、为零是一个点、为负什么图形也不是。题目要”说明理由”，所以每问都要把配方（或判据的值）写出来。

(1) $x^{2}+y^{2}=0$：两个平方之和为零，必须 $x=0$ 且 $y=0$。所以它表示一个点——原点 $(0,0)$。（判据：$D=E=F=0$，$D^{2}+E^{2}-4F=0$。）

(2) 配方：

$$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=6+1+4=11>0 ,$$

所以它表示圆：圆心 $(1,-2)$、半径 $\sqrt{11}$。（判据：$4+16+24=44>0$，$r=\frac{1}{2}\sqrt{44}=\sqrt{11}$，一致。）

(3) 只对 $x$ 配方：

$$(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2} .$$

右边 $a^{2}+b^{2}\geqslant 0$，于是分两种情形：

• 若 $a$、$b$ 不同时为零，则 $a^{2}+b^{2}>0$，表示圆：圆心 $(-a,0)$、半径 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$；
• 若 $a=b=0$，方程成为 $x^{2}+y^{2}=0$，表示一个点（原点）。

这一问的分类不能省：$a^{2}+b^{2}$ 只可能 $\geqslant 0$，所以第三种情形（不表示任何图形）在这里不会发生——把这一句写出来，才算把”说明理由”答完。

这道题的动作：配方后看右边的符号；含字母时按”右边是正 / 是零”分类，并说明哪种情形不可能出现。

练习（第 93 页）第 3 题

3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，CD=3，且 $AB \parallel CD$ ，AD=BC，AB 与 CD 间的距离为 3. 求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

先说清坐标系：这道题的答案依赖建系，而图上已经把坐标系给定了——$AB$ 落在 $x$ 轴上、原点取在 $AB$ 的中点、$CD$ 在上方与 $x$ 轴平行。按图建系：

$$A(-3,0),\quad B(3,0),\quad C\left(\tfrac{3}{2},3\right),\quad D\left(-\tfrac{3}{2},3\right) .$$

（$AB=6$ 故两端点横坐标 $\pm 3$；$CD=3$ 且梯形等腰，故 $C$、$D$ 关于 $y$ 轴对称、横坐标 $\pm\frac{3}{2}$；两底距离 $3$ 故 $C$、$D$ 的纵坐标是 $3$。顺带验一下等腰：$|AD|^{2}=\left(-\frac{3}{2}+3\right)^{2}+9=\frac{9}{4}+9=|BC|^{2}$ ✓。）

圆心在哪条线上：圆心到 $A$、$B$ 等距 $\Rightarrow$ 在 $AB$ 的垂直平分线即 $y$ 轴上；到 $C$、$D$ 等距也给出 $y$ 轴。所以设圆心 $E(0,k)$——这就是图上 $y$ 轴上那个点 $E$。

定 $k$：用 $|EA|^{2}=|ED|^{2}$：

$$9+k^{2}=\frac{9}{4}+(3-k)^{2}=\frac{9}{4}+9-6k+k^{2} \;\Longrightarrow\; 9=\frac{45}{4}-6k \;\Longrightarrow\; 6k=\frac{9}{4} \;\Longrightarrow\; k=\frac{3}{8} .$$

半径：

$$r^{2}=|EA|^{2}=9+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=9+\frac{9}{64}=\frac{585}{64} \;\Longrightarrow\; r=\frac{\sqrt{585}}{8}=\frac{3\sqrt{65}}{8}\approx 3.02 .$$

所以外接圆的方程是

$$x^{2}+\left(y-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{585}{64},$$

圆心 $\left(0,\frac{3}{8}\right)$、半径 $\frac{3\sqrt{65}}{8}$。

自检（四个顶点都要在上面）：

• $A(-3,0)$、$B(3,0)$：$9+\frac{9}{64}=\frac{585}{64}$ ✓
• $C\left(\frac{3}{2},3\right)$、$D\left(-\frac{3}{2},3\right)$：$\frac{9}{4}+\left(3-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{144}{64}+\frac{441}{64}=\frac{585}{64}$ ✓

再核一眼图：算出的圆心 $\left(0,\frac{3}{8}\right)$ 只比原点高一点（$\frac{3}{8}$ 相比半径 $3.02$ 是很小的一段），与图上 $E$ 紧贴在 $O$ 上方的位置相符；半径 $\approx 3.02$ 略大于 $\frac{AB}{2}=3$，所以圆在 $A$、$B$ 处稍微鼓出 $x$ 轴——图上也是这样画的。

这道题的动作：先按图建系（对称的图形就把对称轴取作坐标轴），圆心落在对称轴上只剩一个未知量，一条等距方程就定住它。

习题 2.4 第 1 题

1. 求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形： (1) $x^{2}+y^{2}-2x-5=0;$ (2) $x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0;$ (3) $x^{2}+y^{2}+2ax=0;$ (4) $x^{2}+y^{2}-2by-2b^{2}=0.$

配方即可。图这里不画，但每问都给出画图要用的三个数：圆心、半径，以及一个方便定位的特征（过不过原点、与坐标轴的交点）。

(1) $(x-1)^{2}+y^{2}=5+1=6$：圆心 $(1,0)$、半径 $\sqrt{6}\approx 2.45$。它与 $x$ 轴交于 $1\pm\sqrt{6}$，与 $y$ 轴交于 $y^{2}=5$ 即 $y=\pm\sqrt{5}$。

(2) $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4+1+4=9$：圆心 $(-1,2)$、半径 $3$。

(3) $(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$：当 $a\neq 0$ 时圆心 $(-a,0)$、半径 $|a|$；它过原点（$F=0$），且与 $x$ 轴的另一个交点是 $(-2a,0)$。$a=0$ 时退化成一个点。

(4) $x^{2}+(y-b)^{2}=2b^{2}+b^{2}=3b^{2}$：当 $b\neq 0$ 时圆心 $(0,b)$、半径 $\sqrt{3}\,|b|$；$b=0$ 时退化成一个点（原点）。

自检：(2) 用判据核一遍——$D=2$、$E=-4$、$F=-4$，$D^{2}+E^{2}-4F=4+16+16=36$，$r=\frac{1}{2}\sqrt{36}=3$ ✓，圆心 $\left(-\frac{2}{2},\frac{4}{2}\right)=(-1,2)$ ✓。

这道题的动作：配方；含字母就写绝对值并交代 $\neq 0$ 的前提。

习题 2.4 第 2 题

2. 求下列各圆的方程，并画出图形：

(1) 圆心为点 $C(8, -3)$ ，且过点 $A(5, 1)$ ;

(2) 过 $A(-1, 5)$ , $B(5, 5)$ , $C(6, -2)$ 三点.

(1) 给了圆心 → 设标准方程。

$$r^{2}=|CA|^{2}=(5-8)^{2}+(1+3)^{2}=9+16=25 \;\Longrightarrow\; (x-8)^{2}+(y+3)^{2}=25 .$$

圆心 $(8,-3)$、半径 $5$；它与 $x$ 轴相交（圆心到 $x$ 轴距离 $3<5$），与 $y$ 轴相离（距离 $8>5$）。

(2) 给了三个点 → 设一般方程（$D,E,F$ 都是一次的，好解）。设 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，把三点代入：

$$\left\{ \begin{array}{l} 1+25-D+5E+F=0,\\ 25+25+5D+5E+F=0,\\ 36+4+6D-2E+F=0 \end{array} \right. \;\Longleftrightarrow\; \left\{ \begin{array}{l} -D+5E+F=-26,\\ 5D+5E+F=-50,\\ 6D-2E+F=-40 . \end{array} \right.$$

第二式减第一式：$6D=-24$，故 $D=-4$。代回第一式：$5E+F=-30$；代入第三式：$-2E+F=-16$。两式相减得 $7E=-14$，故 $E=-2$、$F=-20$。所求方程是

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0 \;\Longleftrightarrow\; (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25 .$$

圆心 $(2,1)$、半径 $5$。

自检（三点回代）：$A(-1,5)$：$(-3)^{2}+4^{2}=25$ ✓；$B(5,5)$：$3^{2}+4^{2}=25$ ✓；$C(6,-2)$：$4^{2}+(-3)^{2}=25$ ✓。

顺带一个更快的几何解法：$A$、$B$ 的纵坐标都是 $5$，故 $AB$ 的垂直平分线是 $x=2$；再用 $|CA'|$…… 其实直接用 $x=2$ 上的点 $(2,k)$ 到 $A$ 与到 $C$ 等距：$9+(k-5)^{2}=16+(k+2)^{2}$，解得 $k=1$，同样得到圆心 $(2,1)$。看到两点纵（横）坐标相同，就用它的垂直平分线，能省一个未知量。

这道题的动作：给圆心设标准方程、给三点设一般方程——这就是待定系数法第一步”选方程”。

习题 2.4 第 3 题

3. 已知圆 C 经过原点和点 A(2, 1)，并且圆心在直线 l: x - 2y - 1 = 0 上，求圆 C 的标准方程.

条件盘点：两个”点在圆上” + 一个”圆心在直线上”。圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 三个未知量，正好三条方程；但用几何关系能少解一步。

① 圆心在 $l$ 上：$a-2b-1=0$，即 $a=2b+1$。

② 圆心到两点等距（$|CO|^{2}=|CA|^{2}$，这一步把 $r$ 消掉了）：

$$a^{2}+b^{2}=(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=a^{2}-4a+4+b^{2}-2b+1 \;\Longrightarrow\; 4a+2b=5 .$$

③ 联立：把 $a=2b+1$ 代入，$4(2b+1)+2b=5\Rightarrow 10b=1\Rightarrow b=\frac{1}{10}$，于是 $a=2\cdot\frac{1}{10}+1=\frac{6}{5}$。

④ 半径：

$$r^{2}=a^{2}+b^{2}=\left(\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{144}{100}+\frac{1}{100}=\frac{145}{100}=\frac{29}{20} .$$

所以

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{29}{20} .$$

自检：$A(2,1)$ 代入 $\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{10}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{64}{100}+\frac{81}{100}=\frac{145}{100}$ ✓，与 $r^{2}$ 相等。圆心 $\left(\frac{6}{5},\frac{1}{10}\right)$ 代入 $l$：$\frac{6}{5}-\frac{2}{10}-1=\frac{6}{5}-\frac{1}{5}-1=0$ ✓。

答案不好看不等于算错：这道题的数据本就凑不出整数，最后回代验算比”觉得答案该是整数”可靠得多。

这道题的动作：“过两点”用等距消掉 $r$、“圆心在某直线上”直接当一条方程，两条方程定圆心。

习题 2.4 第 4 题

4. 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过 A(-1, 1) 和 B(1, 3) 两点，求圆 C 的方程.

“圆心在 $x$ 轴上”就是纵坐标为 $0$，所以圆心设成 $(a,0)$，只剩一个未知量。

由 $|CA|^{2}=|CB|^{2}$：

$$(a+1)^{2}+1=(a-1)^{2}+9 \;\Longrightarrow\; a^{2}+2a+2=a^{2}-2a+10 \;\Longrightarrow\; 4a=8 \;\Longrightarrow\; a=2 .$$

半径的平方：$r^{2}=(2+1)^{2}+(0-1)^{2}=9+1=10$。所求方程是

$$(x-2)^{2}+y^{2}=10 .$$

自检：$B(1,3)$ 代入 $(1-2)^{2}+9=1+9=10$ ✓。

换个角度看：$AB$ 的中点是 $(0,2)$、斜率是 $\frac{3-1}{1+1}=1$，故 $AB$ 的垂直平分线是 $y-2=-(x-0)$ 即 $y=-x+2$；它与 $x$ 轴（$y=0$）交于 $(2,0)$ ✓。“到两点等距”与”在垂直平分线上”是同一句话的两种写法，用哪个都行——前者不必求斜率，通常更省。

这道题的动作：把”圆心在坐标轴上”用掉，未知量降到一个，再用一条等距方程解完。

习题 2.4 第 5 题

5. 已知圆的一条直径的端点分别是 $A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$，求证此圆的方程是

$(x - x _ {1}) (x - x _ {2}) + (y - y _ {1}) (y - y _ {2}) = 0.$

要证的是”两个方程同解”，所以正做法是：把待证方程整理成标准方程，看它是不是以 $AB$ 为直径的那个圆。

① 以 $AB$ 为直径的圆是什么。 圆心是中点 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$，半径的平方是

$$r^{2}=\frac{|AB|^{2}}{4}=\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}{4} .$$

② 把待证方程展开、配方。

$$(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2}) =x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}+y^{2}-(y_{1}+y_{2})y+y_{1}y_{2}=0 ,$$

对 $x$、$y$ 分别配方：

$$\left(x-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)^{2} =\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}-x_{1}x_{2}+\frac{(y_{1}+y_{2})^{2}}{4}-y_{1}y_{2} .$$

右边用 $\frac{(p+q)^{2}}{4}-pq=\frac{(p-q)^{2}}{4}$ 化简，恰好是

$$\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}{4}=r^{2} .$$

③ 收口。 于是待证方程与”圆心为 $AB$ 中点、半径为 $\frac{|AB|}{2}$“的标准方程逐字相同，即它就是以 $AB$ 为直径的圆的方程。又因 $A\neq B$（是一条直径的两个端点），$r^{2}>0$，它确实表示一个圆。$\blacksquare$

这个式子的几何意思（记住它就不用背式子）：$(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})$ 正是向量 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$（$P(x,y)$）。所以方程说的是

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0 \iff PA\perp PB\ \text{或}\ P\ \text{与}\ A、B\ \text{之一重合},$$

也就是直径所对的圆周角是直角那条初中定理的坐标版。

这道题的动作：要证”某方程是某圆的方程”，就把它配方，与标准方程逐项对；顺手认出数量积的结构能记得更牢。

习题 2.4 第 6 题

6. 平面直角坐标系中有 $A(0, 1)$, $B(2, 1)$, $C(3, 4)$, $D(-1, 2)$ 四点, 这四点是否在同一个圆上? 为什么?

标准做法：先用三点定圆，再验第四点。（三个不共线的点确定唯一的圆，所以只能这么判。）

① 用 $A$、$B$、$C$ 定圆。 设 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$：

$$\left\{ \begin{array}{l} A:\ 1+E+F=0,\\ B:\ 5+2D+E+F=0,\\ C:\ 25+3D+4E+F=0 . \end{array} \right.$$

第二式减第一式：$4+2D=0\Rightarrow D=-2$。代入第一、三式：$E+F=-1$、$4E+F=-19$，相减得 $3E=-18$，故 $E=-6$、$F=5$。于是过 $A$、$B$、$C$ 的圆是

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y+5=0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=5 .$$

（判据：$D^{2}+E^{2}-4F=4+36-20=20>0$，确实是圆；圆心 $(1,3)$、半径 $\sqrt{5}$。）

② 验 $D(-1,2)$：

$$(-1-1)^{2}+(2-3)^{2}=4+1=5=r^{2}\ \checkmark$$

所以四点共圆，那个圆是 $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=5$（圆心 $(1,3)$、半径 $\sqrt{5}$）。

自检（四点逐个量到圆心的距离平方，都应是 $5$）：$A$：$1+4=5$；$B$：$1+4=5$；$C$：$4+1=5$；$D$：$4+1=5$ ✓。

顺带一个必要的交代：$A$、$B$、$C$ 不共线（$AB$ 是水平线 $y=1$，而 $C$ 的纵坐标是 $4$），所以第 ① 步的圆存在且唯一——否则”用三点定圆”这句话就不成立。

这道题的动作：三点定圆 + 第四点回代；结论无论是”共圆”还是”不共圆”，都要把那个圆写出来。

习题 2.4 第 7 题

7. 已知等腰三角形 $ABC$ 的一个顶点为 $A(4, 2)$，底边的一个端点为 $B(3, 5)$，求底边的另一个端点 $C$ 的轨迹方程，并说明它是什么图形.

先把”等腰”读准：$A$ 是顶点、$BC$ 是底边，所以两腰是 $AB$ 与 $AC$，等腰的意思是

$$|AC|=|AB| .$$

① 算出腰长。

$$|AB|^{2}=(3-4)^{2}+(5-2)^{2}=1+9=10 .$$

② 于是 $C$ 到定点 $A$ 的距离是定值——这正是圆的定义。设 $C(x,y)$：

$$(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=10 .$$

③ 扣掉不合题意的点（这一步最容易丢分）。要真的构成一个三角形，$A$、$B$、$C$ 不能共线：

• $C$ 不能与 $B$ 重合，即 $C\neq(3,5)$；
• $C$ 不能落在直线 $AB$ 与圆的另一个交点上。那一点是 $B$ 关于 $A$ 的对称点

$$C'=(2\times 4-3,\ 2\times 2-5)=(5,-1) ,$$

此时 $B$、$A$、$C'$ 三点共线（$A$ 是 $BC'$ 的中点），三角形退化成一条线段。

所以 $C$ 的轨迹方程是

$$(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=10\qquad\left(\text{除去点}\ (3,5)\ \text{与}\ (5,-1)\right) .$$

它是什么图形：以 $A(4,2)$ 为圆心、$\sqrt{10}$ 为半径的圆，去掉两个点（与 $B$ 重合的那点，以及 $B$ 的对径点）。

自检：$(3,5)$ 与 $(5,-1)$ 都在圆上——$(3-4)^{2}+(5-2)^{2}=10$ ✓，$(5-4)^{2}+(-1-2)^{2}=1+9=10$ ✓，所以它们确实是需要”从圆上抠掉”的点，而不是本就不在轨迹上。

这道题的动作：把几何条件翻成”到定点距离为定值”，写出圆；再回头问一句”哪些位置会让图形退化”，把它们排除。

习题 2.4 第 8 题

8. 长为 $2a$ 的线段 $AB$ 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，求线段 $AB$ 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

设两套坐标（相关点法）：$A(x_{0},0)$ 在 $x$ 轴上、$B(0,y_{0})$ 在 $y$ 轴上，中点 $M(x,y)$。这里 $2a>0$，故 $a>0$。

① 约束：$|AB|=2a$，即

$$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4a^{2} .$$

② 中点关系反解：$x=\frac{x_{0}+0}{2}$、$y=\frac{0+y_{0}}{2}$，于是 $x_{0}=2x$、$y_{0}=2y$。

③ 代入约束：

$$(2x)^{2}+(2y)^{2}=4a^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}=a^{2} .$$

轨迹的形状：以原点为圆心、半径 $a$ 的圆（$a$ 就是线段长的一半）。

几何上一眼可见：$\angle AOB=90^{\circ}$，$OM$ 是直角三角形斜边 $AB$ 上的中线，所以

$$|OM|=\frac{1}{2}|AB|=a$$

恒成立——中点到原点的距离压根不变，轨迹当然是圆。这条”斜边中线等于斜边一半”的初中结论，比代数推导更快，也解释了为什么答案里 $a$ 出现得这么干净。

完整性说明（“轨迹”要求不多不少）：圆上任一点 $M$ 都取得到——过 $M$ 以 $|OM|=a$ 为半径的那个位置，取 $A(2x,0)$、$B(0,2y)$ 即可，且 $|AB|=\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}=2a$ ✓。所以轨迹是整个圆，不必去掉任何点（$A$ 或 $B$ 落在原点时，$M$ 落在坐标轴上，仍在圆上）。

这道题的动作：动点由两个”带约束的点”决定 → 设两套坐标、反解、代入；能看出几何不变量的话，验算就有了。

习题 2.4 第 9 题

9. 已知动点 $M$ 与两个定点 $O(0,0)$, $A(3,0)$ 的距离的比为 $\frac{1}{2}$, 求动点 $M$ 的轨迹方程, 并说明轨迹的形状.

把”比为 $\frac{1}{2}$“写成等式（先去分母，避免讨论分母为零）：$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，即

$$2|MO|=|MA| .$$

两边平方（两边都非负，平方是等价变形）。设 $M(x,y)$：

$$4\left(x^{2}+y^{2}\right)=(x-3)^{2}+y^{2} .$$

展开、整理：

$$4x^{2}+4y^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2} \;\Longrightarrow\; 3x^{2}+3y^{2}+6x-9=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}+2x-3=0 .$$

配方：

$$(x+1)^{2}+y^{2}=4 .$$

轨迹的形状：以 $(-1,0)$ 为圆心、半径 $2$ 的圆。（判据也可：$D=2$、$E=0$、$F=-3$，$D^{2}+E^{2}-4F=4+12=16>0$，$r=\frac{1}{2}\sqrt{16}=2$ ✓。）

自检（取圆上两个特殊点）：

• $(1,0)$：$|MO|=1$、$|MA|=2$，比是 $\frac{1}{2}$ ✓
• $(-3,0)$：$|MO|=3$、$|MA|=6$，比是 $\frac{1}{2}$ ✓

这两点正是 $OA$ 所在直线上按 $1:2$ 的内分点与外分点，它们是这个圆的一条直径的两端。

这类轨迹有名字：到两定点距离之比为常数 $k\ (k>0,\ k\neq 1)$ 的点的轨迹是一个圆，叫阿波罗尼斯圆；$k=1$ 时退化成两点连线的垂直平分线（那时”去分母再平方”得到的是一次方程）。答题时不必用这个名字，但要知道”比为定值”几乎一定通向圆。

这道题的动作：距离之比 → 去分母 → 两边平方 → 配方；最后一定要说清轨迹是什么图形。

习题 2.4 第 10 题

10. 在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ 满足

$\left\{ \begin{array}{l} x = a + r \cos \theta , \\ y = b + r \sin \theta , \end{array} \right.$

其中 $\theta$ 为参数. 证明：点 $P$ 的轨迹是圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ 的圆.

要证”轨迹是那个圆”，两个方向都得说：轨迹上的点都在圆上（不多），圆上的点都在轨迹上（不少）。设 $r>0$。

① 轨迹 $\subseteq$ 圆。 由参数式，

$$x-a=r\cos\theta,\qquad y-b=r\sin\theta ,$$

两式平方相加，用 $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$：

$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)=r^{2} .$$

所以每个满足参数式的点都在以 $(a,b)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆上。

② 圆 $\subseteq$ 轨迹（这一步不能省，否则只证明了”轨迹在圆上”，也许只是一段弧）。设点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 在该圆上，即 $(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}=r^{2}$。令

$$u=\frac{x_{0}-a}{r},\qquad v=\frac{y_{0}-b}{r},$$

则 $u^{2}+v^{2}=1$，即点 $(u,v)$ 在单位圆上；于是存在 $\theta_{0}\in[0,2\pi)$ 使 $\cos\theta_{0}=u$、$\sin\theta_{0}=v$（单位圆上的点与角一一对应）。取这个 $\theta_{0}$ 代入参数式，得到的正是 $x_{0}=a+r\cos\theta_{0}$、$y_{0}=b+r\sin\theta_{0}$，即 $P_{0}$ 在轨迹上。

由 ①②，点 $P$ 的轨迹恰好是圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 的圆。$\blacksquare$

这组式子的读法（比证明更值得带走）：$\theta$ 是转过的角，$(a+r\cos\theta,\ b+r\sin\theta)$ 就是”从圆心出发、沿 $\theta$ 方向走 $r$ 步”。它是圆的参数方程，用处是把圆上的点写成一个参数的函数——求圆上点的最值、或需要在圆上取动点时，设 $\left(a+r\cos\theta,\ b+r\sin\theta\right)$ 常比设 $(x,y)$ 带一条约束更好算。

这道题的动作：参数方程消参用 $\cos^{2}+\sin^{2}=1$；证”轨迹就是某图形”要正反两个方向都写。