公式

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 在 D2+E2−4F>0D^2+E^2-4F>0 时表示圆，圆心 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)、半径 12D2+E2−4F\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}；=0=0 是一个点，<0<0 什么图形也不是。

教材原文

将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得

(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.(1◯)\left(x + \frac {D}{2}\right) ^ {2} + \left(y + \frac {E}{2}\right) ^ {2} = \frac {D ^ {2} + E ^ {2} - 4 F}{4}.\tag{\text{\textcircled{1}}}

（1）当 D2+E2−4F>0D^{2} + E^{2} - 4F > 0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, - \frac{E}{2}\right) 为圆心， 12D2+E2−4F\frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} 为半径的圆；

因此，当 D2+E2−4F>0D^{2} + E^{2} - 4F > 0 时，方程(2)表示一个圆．我们把方程(2)叫做圆的一般方程（general equation of circle).

要点

把标准方程 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} 展开，就得到

x2+y2+Dx+Ey+F=0,D=−2a, E=−2b, F=a2+b2−r2.x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0,\qquad D=-2a,\ E=-2b,\ F=a^{2}+b^{2}-r^{2}.

这个方向总是对的；反方向要带条件。把它配方回去：

(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4,\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4},

右边可正、可零、可负，于是按 D2+E2−4FD^{2}+E^{2}-4F 的符号分三种：

D2+E2−4FD^{2}+E^{2}-4F图形圆心 / 半径
>0>0圆圆心 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)，半径 12D2+E2−4F\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}
=0=0一个点点 (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)
<0<0不表示任何图形——

形式上的两个识别特征（判断「这是不是圆的方程」时先看这两条）：x2x^{2} 与 y2y^{2} 的系数相同且不为零、没有 xyxy 项。系数不为 11 时先整体除掉，再算判据。

它的用处是待定系数法：三个待定的 DD、EE、FF 都以一次的身份出现，所以「过三点求圆」代进去就是一个三元一次方程组——比设标准方程（aa、bb、rr 里带平方）好解得多。反过来，若题目直接给了圆心或半径，设标准方程更省事。

教材出处选择性必修第一册 · 第2章 · 2.4.2-圆的一般方程 · page-0091

学它之前先会

共 1 条前置、最深 1 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。