浙江 2010 · 数学 q05

冷启动：题眼在「对任意」三个字

四个选项都不是等你去算的式子，而是四条断言：「对任意复数 $z=x+yi$，这一条都成立吗？」

于是两个方向的工作量完全不对称——要选中一条，得证明它对每一个 $z$ 都成立；要否掉一条，只需举出一个 $z$ 让它失败。最省力的路线因此是倒过来走：先用反例把能倒的都倒掉，剩下那条再补证明。

动手之前把三件事写清楚，四个选项就都有了着落：

$$\overline{z}=x-yi \ \Longrightarrow\ z-\overline{z}=2yi \ \Longrightarrow\ \left|z-\overline{z}\right|=|2y|\cdot|i|=2|y| ,$$ $$z^{2}=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi , \qquad |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .$$

第一条里那对绝对值号是全题的题眼：$\left|z-\overline{z}\right|$ 是一段长度，它只跟 $y$ 有关，而且恒非负。选项 (A) 把它写成 $2y$、选项 (C) 拿它去压 $2x$，错的都是这两点。

解法一：原卷路线——四项各算各的

(A) $\left|z-\overline{z}\right|=2y$。 由上面，左边 $=2|y|$。它与 $2y$ 相等当且仅当 $y\geqslant0$；只要取 $y<0$（例如 $z=-i$），左边是 $2$、右边是 $-2$，不成立。

这一步正是「开方丢绝对值」最爱出没的地方：$|2yi|=\sqrt{(2y)^{2}}=2|y|$，不是 $2y$。一段长度不可能等于一个负数——发现左右两边「可取值的符号」就不一致，连算都不用算完。

(B) $z^{2}=x^{2}+y^{2}$。 左边 $=x^{2}-y^{2}+2xyi$（原卷解析给出的就是这一步）。两个复数相等要求实部、虚部分别相等：

$$\begin{cases} x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2},\\ 2xy=0, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad y=0 .$$

也就是说 B 只在 $z$ 是实数时成立，不是对任意 $z$，不成立。

(C) $\left|z-\overline{z}\right|\geqslant2x$。 左边 $=2|y|$，与 $x$ 毫无关系；右边随 $x$ 想多大有多大。取 $y=0$、$x=1$：左边 $0$、右边 $2$，不成立。

（原卷解析这一项的理由印的是「$\left|z-\overline{z}\right|\geq2y$」，与 (A) 那一句一字不差——那是排印时把上一句抄了过来，(C) 要驳的是 $\geqslant2x$。校订层照留不改并记了 note，正确的理由就是上面这一句。）

(D) $|z|\leqslant|x|+|y|$。 两边都非负，可以平方比较：

$$|z|^{2}=x^{2}+y^{2}, \qquad \bigl(|x|+|y|\bigr)^{2}=x^{2}+y^{2}+2|x||y| .$$

因为 $2|x||y|\geqslant0$，右边不小于左边，两边开方（都非负，方向不变）即得 $|z|\leqslant|x|+|y|$，对任意 $z$ 成立；等号当且仅当 $|x||y|=0$，即 $z$ 落在坐标轴上。

答案 D。

解法二：一个 $z$ 通杀三项——反例是搜出来的，不是碰出来的

怎么想到的。 上面给 (A)、(C) 各造了一个反例，其实不必分开造。看一眼三条错项的软肋：

• (A) 怕 $y<0$（左边非负、右边为负）；
• (C) 怕 $x$ 大、$|y|$ 小（左边与 $x$ 无关，压不住 $2x$）；
• (B) 怕 $y\neq0$（一旦 $y\neq0$ 就有虚部或实部对不上）。

三个要求互不冲突：取一个 $x$ 大一点、$y$ 取负的点就同时满足。不必碰运气，按 $|x|+|y|$ 从小到大把整点扫一遍，第一个同时否掉三项的是

$$z_{0}=2-i\qquad(x=2,\ y=-1).$$

在这一点上：

三项全倒，只剩 (D)。单选题里这已经可以交卷——但要说清楚：排除法用的是「四项恰有一项正确」这条题设，反例只能否、不能证。真要证明 (D)，还得回到解法一那两行平方。

这条路多给了什么。 它把「找反例」从碰运气变成了按软肋定制：先读出每条错项怕什么，再挑一个同时踩中所有软肋的点。$2-i$ 不是灵光一现，是「$y$ 取负、$x$ 取大」这两个要求能凑出的最小整点。

解法三：复平面上看——三件事都是图形

怎么想到的。 复数的模、共轭本来就是位置的语言：模是到原点的距离，共轭是关于实轴的反射。把四条断言翻译成距离与位置，对错常常不用算。

① $z$ 与 $\overline{z}$ 关于实轴对称，所以 $z-\overline{z}$ 是竖直的一段。 它的长度是「$z$ 到实轴的距离」的两倍，即 $2|y|$。这一句话直接判死两项：

• 长度恒非负，而 $2y$ 可以是负的 → (A) 倒；
• 长度与 $x$ 无关：把点水平右移，这条竖线段一动不动，而 $2x$ 一路变大 → (C) 倒。

② $|z|$ 是直角三角形的斜边。 以 $O$、$(x,0)$、$z$ 为顶点的三角形在 $(x,0)$ 处是直角，两条直角边长 $|x|$ 与 $|y|$，斜边长 $|z|$。「两边之和不小于第三边」就是

$$|z|\leqslant|x|+|y| ,$$

而且看得出等号何时取到：三角形退化成一条线段的时候，也就是 $x=0$ 或 $y=0$、点落在坐标轴上。→ (D) 对。

③ (B) 的几何版最有意思。 注意

$$\left|z^{2}\right|=|z|^{2}=x^{2}+y^{2} ,$$

也就是说 $z^{2}$ 与 $x^{2}+y^{2}$ 模永远相等——两者始终落在同一个圆上，差的只是辐角。于是 (B) 说的其实是「$z^{2}$ 落在正实轴上」；而 $z^{2}$ 的辐角是 $z$ 的两倍，要它变成 $0$（或 $2\pi$ 的整数倍），只能 $z$ 本身的辐角是 $0$ 或 $\pi$，即 $z$ 是实数。

所以 (B) 不是「差一点点」，而是只在一条直线（实轴）上成立——与解法一解出的 $y=0$ 完全一致，只是这次是看出来的。

答案 D。