复数结论的真假判断

题型说明

• 常见问法：「对任意复数 $z=x+yi$（$x,y\in R$），则下列结论正确的是（　）」，四个选项各是一条关于 $z$ 的断言。
• 它考的不是算得快，而是「对任意」这三个字：一条断言要当选，必须对每一个 $z$ 都成立；要出局，只需一个 $z$ 让它失败。两件事的工作量天差地别——证明要讲道理，反驳只要举例。
• 常见的断言形状：模与实部、虚部的关系（$|z|$ 与 $|x|$、$|y|$）；共轭带来的对称（$z\pm\overline{z}$、$z\overline{z}$）；平方与模平方（$z^{2}$ 与 $|z|^{2}$）。

两条通用打法

1. 逐项化成标准形再比。 把每一条的两边都写成 $a+bi$ 或一个实数再比。两边类型不同时往往不必算完就能判死：一边是复数、另一边是实数，或者一边是长度（恒非负）、另一边可正可负。
2. 先挑一个「什么都犯」的反例。 错项常常在同一个方向上脆弱：取 $y<0$ 可以一次破掉所有「把 $|y|$ 写成 $y$」的项；取 $|x|$ 远大于 $|y|$ 可以一次破掉所有「拿只含 $y$ 的量去压住含 $x$ 的量」的项。一个挑得好的 $z$ 常能同时否掉好几项。

排除法在这里合法，但它只能否、不能证：三项倒下之后选出第四项，靠的是「四项恰有一项正确」这条题设；要说清它为什么对，仍得给证明。

三个先记住的不变量

• $\overline{z}=x-yi$，故 $z-\overline{z}=2yi$，$\left|z-\overline{z}\right|=2|y|$——只跟 $y$ 有关，而且带绝对值。
• $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$——这是实数；而 $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi$ 一般不是。
• $\left|z^{2}\right|=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$——$z^{2}$ 与 $x^{2}+y^{2}$ 模恒相等，差别只在辐角。