浙江 2012 · 数学 q02

冷启动：一道除法，四个选项排得很有心机

题面只有一个动作：算

$$\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} .$$

四个选项是 A．$1-2\mathrm{i}$，B．$2-\mathrm{i}$，C．$2+\mathrm{i}$，D．$1+2\mathrm{i}$。 在动笔之前，先把它们摆在一起看三眼——这道题的全部信息量都在这四个选项的排法里。

第一眼：它们是两对共轭。 A 与 D 互为共轭（$1\mp2\mathrm{i}$），B 与 C 互为共轭（$2\mp\mathrm{i}$）。 共轭意味着「只有虚部的符号不同」，也就是说：任何一处 $\mathrm{i}$ 的符号写反，都会掉进另一个选项里， 而不会掉到「没有这个答案」的安全区。

第二眼：四个选项的模全是 $\sqrt{5}$。 $1^{2}+2^{2}=5$，$2^{2}+1^{2}=5$，一个不落。 而所求的模是

$$\left|\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right| =\frac{|3+\mathrm{i}|}{|1-\mathrm{i}|} =\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5} .$$

于是「先算模、再排除」这条在复数选择题里最常用的捷径，在这道题上一个选项都排不掉—— 四个点全落在离原点 $\sqrt{5}$ 的同一圈上。这不是巧合，是出题人堵死的。只能老实算。

第三眼：每个错项都对应一种具体错法。

解法一：分母实数化——分子分母同乘共轭 $1+\mathrm{i}$

复数除法只有一条规矩：先把分母变成实数。办法是分子分母同乘分母的共轭。

$$\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} =\frac{(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} .$$

分母（这一步是白送的，平方差直接用）：

$$(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=1^{2}-\mathrm{i}^{2}=1-(-1)=2 .$$

分子（四项逐个展开，$\mathrm{i}^{2}$ 当场换成 $-1$）：

$$(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=3+3\mathrm{i}+\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2} =3+4\mathrm{i}-1=2+4\mathrm{i} .$$

合起来，再化成标准代数形式：

$$\frac{2+4\mathrm{i}}{2}=1+2\mathrm{i} .$$

选 D。

两处必须盯住的：

• 乘的是共轭 $1+\mathrm{i}$，不是 $1-\mathrm{i}$。 乘成了 $1-\mathrm{i}$，分母是 $(1-\mathrm{i})^{2}=-2\mathrm{i}$， 根本不是实数；这时候若还顺手按 $2$ 去除，得到的正是选项 B。
• 除以 $2$ 时实部虚部一起除。 $\dfrac{2+4\mathrm{i}}{2}$ 是 $1+2\mathrm{i}$，不是 $1+4\mathrm{i}$ 也不是 $2+2\mathrm{i}$。

解法二：待定系数——设商为 $x+y\mathrm{i}$，乘回去比较实部与虚部

上一条路要做一次除法。其实这道题可以完全不出现除法。

设所求为 $x+y\mathrm{i}$（$x,y\in\mathbf{R}$），那么按除法的定义，

$$(x+y\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=3+\mathrm{i} .$$

左边展开（$-y\mathrm{i}^{2}=+y$）：

$$(x+y\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=x-x\mathrm{i}+y\mathrm{i}-y\mathrm{i}^{2} =(x+y)+(y-x)\mathrm{i} .$$

两个复数相等，就是实部与虚部分别相等：

$$\begin{cases} x+y=3 ,\\ y-x=1 . \end{cases}$$

两式相加得 $2y=4$，$y=2$；回代 $x=1$。所以商是 $1+2\mathrm{i}$，选 D。

这条路好在哪：全程只有乘法与一个二元一次方程组， 「分母硬约」「共轭乘错」这两类错没有发生的机会——因为根本没写分母。 代价是要多设两个字母、多解一个方程组；本题两条方程一加就出，几乎不亏。

解法三：反着乘回去——四个选项各乘 $1-\mathrm{i}$，谁回到 $3+\mathrm{i}$ 谁就是

选择题还有第三条：既然 $\dfrac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=z$ 等价于 $z(1-\mathrm{i})=3+\mathrm{i}$， 那就把四个选项逐个代回验证，用排除法收工。乘法比除法好算得多。

$$\begin{aligned} \text{A：}&(1-2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1-\mathrm{i}-2\mathrm{i}+2\mathrm{i}^{2}=-1-3\mathrm{i} &&\ne 3+\mathrm{i} ,\\ \text{B：}&(2-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=2-2\mathrm{i}-\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1-3\mathrm{i} &&\ne 3+\mathrm{i} ,\\ \text{C：}&(2+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=2-2\mathrm{i}+\mathrm{i}-\mathrm{i}^{2}=3-\mathrm{i} &&\ne 3+\mathrm{i} ,\\ \text{D：}&(1+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1-\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2\mathrm{i}^{2}=3+\mathrm{i} &&=3+\mathrm{i}\ \checkmark \end{aligned}$$

只有 D 命中，选 D。

注意 C 那一行：它乘回去得到 $3-\mathrm{i}$——恰好是目标 $3+\mathrm{i}$ 的共轭。 四个错项里它最像，也最容易在慌乱中被当成对的。 这也印证了冷启动那句话：这道题的每一处符号错，都有一个选项在下面接着。

这条路什么时候值得用：选项是具体的数、而正面算法要做除法时。 本题四次乘法都是「四项展开」，单次比分母实数化更短——四次做完并不比正面算更省，但每一次都只用整数乘法，不经过分母，出错的口子小得多。 反过来，它不产出答案的表达式，只在选项里做淘汰；填空题上用不了。

三条提醒

1. $\mathrm{i}^{2}=-1$，一次都不能漏。 三条路各要用到它一次（解法一在分子、解法二在展开、解法三每行一次）。 漏了负号只影响实部、虚部照旧对——这正是它最难自查的原因：算出来「有一半是对的」， 人就容易觉得没问题。养成习惯：展开完先把所有 $\mathrm{i}^{2}$ 圈出来，一个个换成 $-1$。
2. 共轭只翻虚部的符号，实部原封不动。 $\overline{1-\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$， 不是 $-1+\mathrm{i}$ 也不是 $-1-\mathrm{i}$。分母实数化能成立，靠的就是 $(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})=c^{2}+d^{2}$ 这个恒为正实数的结果。
3. 模能排除的时候要先排除，不能排除的时候要早点认输。 本题四个选项同模， 花时间算模是纯亏；但先花十秒钟算一次 $\sqrt{5}$ 也不冤——它至少告诉你 「这条路走不通，别再想了」，同时顺手给出了一个验算： 最后算出的 $1+2\mathrm{i}$ 模确实是 $\sqrt{5}$，与所求的模对得上。