浙江 2023 · 数学 q02

冷启动：这题在要什么

已知一个复数 $z=\dfrac{1-i}{2+2i}$，问 $z-\bar{z}$（$z$ 减去它的共轭复数）。

共轭复数 $\bar{z}$ 的规矩只有一条：写成 $a+bi$ 后，把虚部的符号取反、实部不动，得 $a-bi$。所以这题的路线很清楚——先把 $z$ 弄成 $a+bi$ 的样子，剩下的就是套 $z-\bar{z}$。差别只在于：你是把整个 $z$ 算全，还是看穿「$z-\bar{z}$ 其实只需要虚部」。

解法一：分母实数化算出 z 再相减

怎么想到的。 $z$ 是个分式，分母 $2+2i$ 还带着 $i$，直接看根本看不出实部、虚部是多少。复数除法的标准动作是分母实数化：分子分母同乘分母的共轭，分母就变成实数（这正是化为标准代数形式那套手法）。

① 先约个公因子，让数字小一点：

$$z=\frac{1-i}{2+2i}=\frac{1-i}{2(1+i)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-i}{1+i}$$

② 分子分母同乘 $(1-i)$（分母的共轭），用复数的乘法展开：

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-2i+i^{2}}{1-i^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-2i}{2}=-\frac{1}{2}i$$

（分母 $(1+i)(1-i)=1-i^{2}=2$；分子 $(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$，记住 $i^{2}=-1$。）

于是 $z=0-\dfrac{1}{2}i$，即 $a=0,\ b=-\dfrac{1}{2}$。

③ 取共轭、相减。 共轭只翻虚部的号：$\bar{z}=+\dfrac{1}{2}i$。

$$z-\bar{z}=-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i=-i$$

解法二：用 z−z̄ = 2i·Im(z) 只取虚部

怎么想到的。 注意题目要的不是 $z$，而是 $z-\bar{z}$ 这个组合。设 $z=a+bi$，则 $\bar{z}=a-bi$，相减时实部 $a$ 直接对消：

$$z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi=2i\operatorname{Im}(z)$$

一句话：$z-\bar{z}$ 永远是纯虚数，且只由虚部决定——实部 $a$ 算不算都白算。所以这条路只盯虚部，把实部整个跳过。

抠虚部。 $z$ 还是要化一下，但化到能读出虚部即可，实部不必关心。直接把分母实数化（这里不约公因子也一样）：

$$z=\frac{1-i}{2+2i}=\frac{(1-i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}=\frac{2-2i-2i+2i^{2}}{4+4}=\frac{-4i}{8}=-\frac{1}{2}i$$

虚部即 $-\dfrac{1}{2}$。

代进公式：

$$z-\bar{z}=2i\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-i$$

这两条路差在哪。 解法一是「无脑通用」的：把 $z$ 完整算成 $a+bi$，再老老实实写共轭、做减法，任何共轭题都走得通。解法二是「看穿结构」的：它认出 $z-\bar{z}$ 这个组合注定把实部消掉，于是实部那部分劳动直接免了，连 $\bar{z}$ 都不用写出来——选择题里这种「求 $z\pm\bar{z}$」的问法，记住 $z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z)$、$z-\bar{z}=2i\operatorname{Im}(z)$ 这两句，往往比算全 $z$ 快一截。

🕳️ 避坑

• 取共轭只翻虚部的号，实部不动。本题实部恰好是 $0$，更要小心：别把 $0$ 也「变号」、或手滑把整个 $z$ 取负。
• $z-\bar{z}$ 算完应当是纯虚数（没有实部）。若你算出个实数，多半是加减压反了、或把那个 $i$ 漏了。
• 干扰项 $i$（选 B）就是把方向弄反、算成了 $\bar{z}-z$；$0$（选 C）是误以为 $z$ 是实数、$z=\bar{z}$。

对照选项 A. $-i$、B. $i$、C. $0$、D. $1$，故选 A。