复数

教材原文

我们把形如 $a + bi(a, b \in \mathbf{R})$ 的数叫做复数（complex number），其中 $\mathrm{i}$ 叫做虚数单位（imaginary unit）。全体复数构成的集合 $\mathbf{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbf{R}\}$ 叫做复数集（set of complex numbers）。这样，方程 $x^2 + 1 = 0$ 在复数集 $\mathbf{C}$ 中就有解 $x = \mathrm{i}$ 了。

复数通常用字母 $z$ 表示，即 $z = a + \mathrm{bi}(a, b \in \mathbf{R})$. 以后不作特殊说明时，复数 $z = a + \mathrm{bi}$ 都有 $a, b \in \mathbf{R}$，其中的 $a$ 与 $b$ 分别叫做复数 $z$ 的实部（real part）与虚部（imaginary part）.

对于复数 $a + b\mathrm{i}$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$），当且仅当 $b = 0$ 时，它是实数；当且仅当 $a = b = 0$ 时，它是实数0；当 $b \neq 0$ 时，它叫做虚数（imaginary number）；当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，它叫做纯虚数.

显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 $R \subsetneq C$ .

要点

• 复数的代数形式为 $z=a+bi\,(a,b\in\mathbf{R})$，其中 $a$ 为实部、$b$ 为虚部。
• 实数是虚部为 $0$ 的复数，故 $\mathbf{R}\subseteq\mathbf{C}$。
• 当虚部 $b\neq 0$ 时 $z$ 为虚数；当 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 时为纯虚数。