复数为实数的充要条件

教材原文

对于复数 $a + b\mathrm{i}$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$），当且仅当 $b = 0$ 时，它是实数；当且仅当 $a = b = 0$ 时，它是实数0；当 $b \neq 0$ 时，它叫做虚数（imaginary number）；当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，它叫做纯虚数.

要点

• 前提是 $a,b\in\mathbf{R}$，用之前必须先挣到它。题面里那句「已知 $a\in\mathbf{R}$」不是废话，正是为这一步准备的：若 $b$ 本身还可能是虚的，「$b=0$」这个判据就不合法。
• 三种类型只看虚部与实部是否为零这一件事：

• 纯虚数要两个条件，这是最常漏的一条：只写 $a=0$ 会把 $z=0$ 混进来，而 $0$ 是实数、不是纯虚数。
• 用法固定：把 $z$ 先化成标准代数形式 $x+y\mathrm{i}$（$x,y$ 是实数），认清哪个是实部、哪个是虚部，再按上表列方程。