复数的分类求参数

题型说明

• 常见问法：已知 $a\in\mathbf{R}$（或 $m\in\mathbf{R}$），复数 $z$ 的实部与虚部都写成了含该参数的式子，再给一句「$z$ 是实数 / 是虚数 / 是纯虚数」，求参数。
• 多为选择题、填空题的第 1、2 题，分值低。考的是「把一句关于类型的话翻译成关于虚部（与实部）的方程」这一步。
• 关键动作三步：
  1. 把 $z$ 化成标准代数形式 $x+y\mathrm{i}$，且确认 $x,y$ 都是实数（题面那句 $a\in\mathbf{R}$ 就是为它给的）；
  2. 认清哪一部分是虚部——它是 $\mathrm{i}$ 前面的系数，不含 $\mathrm{i}$；
  3. 按类型列方程：实数 $\Rightarrow$ 虚部 $=0$；虚数 $\Rightarrow$ 虚部 $\neq 0$；纯虚数 $\Rightarrow$ 实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$。

与「复数相等求参数」的分工

两者都靠「实部虚部分开看」，但给的条件不同：那一类给的是一个复数等式（拆成两个方程），这一类给的是一句类型判断（拆成一个方程，纯虚数那一支再加一个不等式）。化标准代数形式那一步两边完全一样。

常见陷阱

• 把实部当虚部：题面写成 $a-1+(a-2)\mathrm{i}$ 时，虚部是 $a-2$ 而不是 $a-1$；令错一个，答案正好落进出题人准备的另一个选项。
• 纯虚数只写一半：只解 $\text{实部}=0$、忘了 $\text{虚部}\neq 0$，会把 $z=0$ 当成纯虚数。
• 没化成标准代数形式就下手：式子里还留着 $\mathrm{i}^2$、或虚部里还含 $\mathrm{i}$ 时，直接对着看的「虚部」不是真的虚部。