复数相等求参数

题型说明

• 常见问法：已知 $a,b\in\mathbf{R}$ 且某个复数等式成立，求 $a$、$b$（或求 $a+b$、$ab$、$\dfrac{a}{b}$）。
• 多为选择题、填空题的前几题，分值低。考的不是技巧，而是「一个复数等式 = 两个实数等式」这一步敢不敢用。
• 关键动作三步：
  1. 两边各自化成标准代数形式 $x+y\mathrm{i}$（展开、把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$、合并）；
  2. 确认要比对的两个系数都是实数——这是拆的前提，题面里那句 $a,b\in\mathbf{R}$ 就是为它准备的；
  3. 实部对实部、虚部对虚部，列出两个实数方程解掉。

与「复数的运算（求值）」的分工

同样要化标准代数形式，但落点不同：那一类是算完读一个数（实部 / 虚部 / 模 / 共轭），这一类是算完列方程组——未知量藏在系数里，化简只是准备工作。

常见陷阱

• 漏掉 $\mathrm{i}^2=-1$：右边少一个负号，实部就整体变号，答案正好落进出题人准备的那个选项。
• 忘了检查系数是实数：$a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}\Rightarrow a=c,\,b=d$ 只在 $a,b,c,d$ 全为实数时成立。若 $b$ 本身可能是虚的，拆开就不合法。
• 对错位置：把一边的实部与另一边的虚部比。稳妥办法是两边都先写成 $(\ )+(\ )\mathrm{i}$ 的模样再对。