浙江 2022 · 数学 q02

冷启动：三件事就够了

假设你只知道「有一种数叫复数」。这道题要用的全部知识就是下面三件事。

① 虚数单位 $\mathrm{i}$。 实数里没有哪个数的平方是负的，于是数学规定了一个新数 $\mathrm{i}$，它满足

$$\mathrm{i}^2=-1$$

除了这一条，$\mathrm{i}$ 跟普通字母一样参加加减乘除。整道题的全部机关就在这一个负号上，先把它记牢。

② 复数与它的标准代数形式。 形如 $a+b\mathrm{i}$（$a,b$ 都是实数）的数叫复数。写成这个模样时，$a$ 叫实部、$b$ 叫虚部——注意虚部是 $\mathrm{i}$ 前面的那个系数 $b$，不带 $\mathrm{i}$。

每个复数写成 $a+b\mathrm{i}$ 的写法只有一种，这叫它的标准代数形式。这句「只有一种」听着像废话，下面第 ③ 条全靠它。

③ 两个复数什么时候相等。 既然写法唯一，那么

$$a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}\ (a,b,c,d\text{ 都是实数})\iff a=c\ \text{且}\ b=d$$

这就是复数相等的充要条件。它的分量要说清楚：一个复数等式，等价于两个实数等式。复数题之所以能变回熟悉的实数题，靠的就是这一步。

⚠️ 括号里那句「$a,b,c,d$ 都是实数」是前提，不是装饰。题面开头写着 $a,b\in\mathbf{R}$，正是为了让你有资格用这一条。若 $b$ 本身可能是个虚数，这个拆分就不成立。

题目给的是 $a+3\mathrm{i}=(b+\mathrm{i})\mathrm{i}$，要求出 $a$、$b$。翻成人话：把右边也整理成「实数 + 实数×i」的模样，然后左右两边一一对上。

解法一：化成标准代数形式再对系数

怎么想到的。 等号两边现在长得不一样：左边 $a+3\mathrm{i}$ 已经是标准代数形式（实部 $a$、虚部 $3$），右边 $(b+\mathrm{i})\mathrm{i}$ 还是个乘积，看不出实部虚部。冷启动第 ③ 条要求两边都写成 $x+y\mathrm{i}$ 才能对系数，所以唯一要做的动作就是把右边化开。

① 把右边展开。 像多项式那样分配：

$$(b+\mathrm{i})\mathrm{i}=b\cdot\mathrm{i}+\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}=b\mathrm{i}+\mathrm{i}^2$$

② 把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$——这一步就是整道题。

$$b\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=b\mathrm{i}-1=-1+b\mathrm{i}$$

写成标准代数形式后一目了然：右边的实部是 $-1$，虚部是 $b$。

这里要停一下：如果把 $\mathrm{i}^2$ 当成 $+1$，右边就成了 $1+b\mathrm{i}$，实部从 $-1$ 变成 $+1$，最后会得到 $a=1,b=3$，正是选项 D。出题人把这个错法原样摆在了选项里。

③ 两边对系数。 现在等式是

$$\underbrace{a}_{\text{实部}}+\underbrace{3}_{\text{虚部}}\mathrm{i}\;=\;\underbrace{(-1)}_{\text{实部}}+\underbrace{b}_{\text{虚部}}\mathrm{i}$$

四个系数 $a,3,-1,b$ 全是实数（$a,b\in\mathbf{R}$ 是题目给的，$3$ 与 $-1$ 本来就是），冷启动第 ③ 条的前提满足，于是可以拆成两个实数等式：

$$\begin{cases} a=-1 &\text{（实部对实部）}\\[2pt] 3=b &\text{（虚部对虚部）} \end{cases}$$

④ 读答案。 $a=-1$、$b=3$，故选 B。

解法二：把四个选项代回原式验一遍

怎么想到的。 上一条路是解方程——从条件出发把 $a,b$ 算出来。但这是选择题，$a,b$ 的四种可能已经列在纸上了。既然如此，可以反过来做：不解，只验——把每组 $(a,b)$ 代回原式，看等号成不成立。

这条路的好处是它只需要一样本事：会算 $(b+\mathrm{i})\mathrm{i}$，然后看两个具体的复数是不是同一个。不必先想清「一个复数等式该拆成哪两个实数等式」——两边都已经是数了，照着抄下来比一比即可，因而也不怕对错位置。

① 先把右边随 $b$ 的取值算清楚。 四个选项里 $b$ 只有两种取值，$-3$ 和 $3$：

$$b=-3:\quad(-3+\mathrm{i})\mathrm{i}=-3\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=-1-3\mathrm{i}$$ $$b=3:\quad(3+\mathrm{i})\mathrm{i}=3\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=-1+3\mathrm{i}$$

（两处都用了 $\mathrm{i}^2=-1$；躲不开的还是那个负号。）

② 四个选项逐个代。 左边永远是 $a+3\mathrm{i}$，把 $a$ 填进去与右边比：

• A. $a=1,b=-3$：左 $=1+3\mathrm{i}$，右 $=-1-3\mathrm{i}$。实部 $1\neq-1$，虚部 $3\neq-3$，两处都不对，✗；
• B. $a=-1,b=3$：左 $=-1+3\mathrm{i}$，右 $=-1+3\mathrm{i}$。逐字相同 ✓；
• C. $a=-1,b=-3$：左 $=-1+3\mathrm{i}$，右 $=-1-3\mathrm{i}$。实部对上了，虚部 $3\neq-3$，✗；
• D. $a=1,b=3$：左 $=1+3\mathrm{i}$，右 $=-1+3\mathrm{i}$。虚部对上了，实部 $1\neq-1$，✗。

③ 只有 B 通过，故选 B。

这次的验证是「充要」的，与上一题的排除法不同。 一般的排除法只找一条必要条件去刷选项，刷完剩一个，还得靠「选择题有且只有一个正确选项」这句话才敢下结论。这道题不一样：代回去等号成立，本身就说明这组 $(a,b)$ 满足题目的全部要求——它既是必要的，也是充分的。所以第 ② 步里 B 那一行独立地证明了 B 是答案，另外三行是额外的保险（顺便确认题目没出错、没有第二组解）。

这两条路差在哪

• 解法一是解：从等式出发，用「复数相等 ⇒ 两个实数等式」把未知量逼出来。它不看选项，改成填空题「求 $a+b$」照样能做。
• 解法二是验：不去拆方程，只反复做一件事——算 $(b+\mathrm{i})\mathrm{i}$，再看两个具体的复数是不是同一个。它离不开选项，但换来的是几乎不可能对错位置。

依赖的知识不同（一个把充要条件当工具去拆方程、解未知量，一个只把它当判据去比两个已知的数），推进方向也相反（一个正着解、一个反着验），所以是两条路。

考场上怎么选：$b$ 的取值只有两种、算两次乘法就够，所以这道题解法二并不慢。但要注意它的规模——若选项里 $a,b$ 各有四种不同取值，就要算四次甚至更多，那时解法一更省。代入检验的成本随选项的多样性上涨，解方程的成本不涨，这是判断该用哪条路的一般标准。

🕳️ 避坑

• $\mathrm{i}^2=-1$，不是 $1$。 这道题的全部难度就是这个负号。写出 $\mathrm{i}^2$ 的当场就把它换掉，别留到下一行——一跨行它就容易被当成普通平方项抄过去。漏了这一步得到的正是选项 D。
• 虚部是系数，不带 $\mathrm{i}$。 右边 $-1+b\mathrm{i}$ 的虚部是 $b$，不是 $b\mathrm{i}$。写成「虚部 $=b\mathrm{i}$」再去与左边的「$3\mathrm{i}$」比，虽然这道题碰巧得数一样，但换成要求「虚部的平方」之类就会翻车。
• 「$a,b\in\mathbf{R}$」是使用许可，不是背景交代。 复数相等能拆成两个实数等式，前提是四个待比的系数都是实数。看到题面给这句话，要意识到它是在给你发拆分的许可证。
• 本题特有的一处：左边 $a+3\mathrm{i}$ 的 $3$ 与右边 $-1+b\mathrm{i}$ 的 $-1$ 不是一对——$3$ 是左边的虚部，要去对右边的虚部 $b$；$-1$ 是右边的实部，要去对左边的实部 $a$。两个具体数字一眼看去很想凑在一起，选项 C（$a=-1,b=-3$）就在等这种对错位置的人：实部对了，虚部却抄了个负号。