浙江 2021 · 数学 q02

冷启动：两件事就够

假设你刚认识复数。这道题要用的全部知识就是下面两件事。

① 虚数单位 $\mathrm{i}$。 实数里没有哪个数的平方是负的，于是数学规定了一个新数 $\mathrm{i}$，它满足

$$\mathrm{i}^2=-1$$

除了这一条，$\mathrm{i}$ 跟普通字母一样参加加减乘除。整道题的全部机关就在这一个负号上，先把它记牢。

② 两个复数什么时候相等。 复数写成 $a+b\mathrm{i}$（$a,b$ 都是实数）时，$a$ 叫实部、$b$ 叫虚部——虚部是 $\mathrm{i}$ 前面那个系数，不带 $\mathrm{i}$。这个写法只有一种，于是

$$a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}\ (a,b,c,d\text{ 都是实数})\iff a=c\ \text{且}\ b=d$$

换句话说：一个复数等式，等价于两个实数等式——实部对实部、虚部对虚部。题目给的是 $(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}=3+\mathrm{i}$，要求出 $a$。翻成人话：把左边也整理成「实数 + 实数×i」的模样，然后左右两边一一对上。

解法一：化成标准代数形式再对系数

怎么想到的。 等号两边现在长得不一样：右边 $3+\mathrm{i}$ 已经是标准代数形式（实部 $3$、虚部 $1$），左边 $(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}$ 还是个乘积，看不出实部虚部。要能对系数，唯一要做的动作就是把左边化开。

① 把左边展开。 像多项式那样分配：

$$(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}=\mathrm{i}+a\mathrm{i}^2$$

② 把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$——这一步就是整道题。

$$\mathrm{i}+a\mathrm{i}^2=\mathrm{i}-a=-a+\mathrm{i}$$

写成标准代数形式后一目了然：左边的实部是 $-a$，虚部是 $1$。

这里要停一下：如果把 $\mathrm{i}^2$ 当成 $+1$，左边就成了 $a+\mathrm{i}$，实部从 $-a$ 变成 $a$，最后会得到 $a=3$，正是选项 D。出题人把这个错法原样摆在了选项里。

③ 两边对系数。 现在等式是

$$\underbrace{(-a)}_{\text{实部}}+\underbrace{1}_{\text{虚部}}\mathrm{i}\;=\;\underbrace{3}_{\text{实部}}+\underbrace{1}_{\text{虚部}}\mathrm{i}$$

实部对实部：$-a=3$，得 $a=-3$。（虚部对虚部：$1=1$ 恒成立——本题只有一个未知量，虚部这一式不提供新信息，只起核对作用。）故选 C。

解法二：把四个选项代回原式验一遍

怎么想到的。 上一条路是解方程——从条件出发把 $a$ 算出来。但这是选择题，$a$ 的四种可能已经列在纸上了。既然如此，可以反过来做：不解，只验——把每个 $a$ 代回 $(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}$，看它等不等于 $3+\mathrm{i}$。

这条路的好处是它只需要一样本事：会算 $(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}$，然后看两个具体的复数是不是同一个。不必先想清「一个复数等式该拆成哪两个实数等式」——两边都已经是数了，抄下来比一比即可，因而也不怕对错位置。

四个选项逐个代。 左边展开后永远是 $-a+\mathrm{i}$（两处都用了 $\mathrm{i}^2=-1$；躲不开的还是那个负号），把它与右边 $3+\mathrm{i}$ 比：

• A. $a=-1$：左 $=-(-1)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$，实部 $1\neq 3$，✗；
• B. $a=1$：左 $=-1+\mathrm{i}$，实部 $-1\neq 3$，✗；
• C. $a=-3$：左 $=-(-3)+\mathrm{i}=3+\mathrm{i}$，与右边逐字相同 ✓；
• D. $a=3$：左 $=-3+\mathrm{i}$，实部 $-3\neq 3$，✗。

只有 C 通过，故选 C。

这次的验证是「充要」的。 代回去等号成立，本身就说明这个 $a$ 满足题目的全部要求——它既是必要的，也是充分的。所以第 C 行独立地证明了 C 是答案，另外三行是额外的保险（顺便确认题目没出错、没有第二个解）。

这两条路差在哪

• 解法一是解：从等式出发，用「复数相等 ⇒ 两个实数等式」把未知量逼出来。它不看选项，改成填空题「求 $a$」照样能做。
• 解法二是验：不去拆方程，只反复做一件事——算 $(1+a\mathrm{i})\mathrm{i}$，再看两个具体的复数是不是同一个。它离不开选项，但换来的是几乎不可能对错位置。

推进方向相反（一个正着解、一个反着验），所以是两条路。考场上怎么选：本题四个选项各是一个数，代四次乘法就够，解法二并不慢；但代入检验的成本随选项的多样性上涨，解方程的成本不涨——这是一般标准。

🕳️ 避坑

• $\mathrm{i}^2=-1$，不是 $1$。 这道题的全部难度就是这个负号。写出 $\mathrm{i}^2$ 的当场就把它换掉，别留到下一行——一跨行它就容易被当成普通平方项抄过去。漏了这一步得到的正是选项 D，即「i平方漏取负号」。
• 虚部是系数，不带 $\mathrm{i}$。 左边 $-a+\mathrm{i}$ 的虚部是 $1$，不是 $\mathrm{i}$。
• 「$a\in\mathbf{R}$」是使用许可，不是背景交代。 复数相等能拆成两个实数等式，前提是待比的系数都是实数。看到题面给这句话，要意识到它是在给你发拆分的许可证。