浙江 2008 · 数学 q01

冷启动：把「纯虚数」翻译成一个能解的式子

题目给的是一个复数分式

$$z=\frac{a-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}},\qquad a\in\mathbf{R}$$

问 $a$ 取什么值时，$z$ 是纯虚数。

先补两样东西，再回来看这道题。

① 虚数单位 $\mathrm{i}$。 实数里没有哪个数的平方是负的，所以规定一个新数 $\mathrm{i}$，它满足

$$\mathrm{i}^2=-1$$

复数的一切运算都立在这一个等式上。

② 复数与它的实部、虚部。 形如 $x+y\mathrm{i}$（$x,y$ 都是实数）的数叫复数；其中 $x$ 叫实部、$y$ 叫虚部——虚部是 $\mathrm{i}$ 前面的那个系数，不带 $\mathrm{i}$。而「纯虚数」的定义就是一句关于这两部的话：

$$z\ \text{是纯虚数}\iff \text{实部}=0\ \text{且}\ \text{虚部}\neq 0$$

（只写「实部为零」会把 $z=0$ 也放进来，而 $0$ 是实数、不是纯虚数——后面回代时会用上这条。）

这道题的麻烦在于 $z$ 还是分式：实部、虚部都裹在 $\frac{1}{1+\mathrm{i}}$ 里，一眼看不出谁是谁。于是有两条路——先把分式展成标准代数形式再读实部（解法一）；或者干脆不碰分式，直接把「纯虚数」这个身份设进去（解法二）。

解法一：分母实数化令实部为零

怎么想到的。 复数分式的标准动作只有一招：分母实数化——分子分母同乘分母的共轭 $1-\mathrm{i}$，让分母变成实数。分母一实，剩下的就是照 化为标准代数形式 那套把分子展开、合并，再读实部、虚部。既然「纯虚数」在定义里就等价于「实部为零」，那就把实部揪出来、令它等于 $0$。

① 分母实数化。 同乘 $1-\mathrm{i}$：

$$z=\frac{a-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(a-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} =\frac{a-a\mathrm{i}-\mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{1-\mathrm{i}^2}$$

把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$（这是复数的乘法 唯一的新规矩：照多项式乘开，每遇 $\mathrm{i}^2$ 就降成 $-1$）：

$$=\frac{a-a\mathrm{i}-\mathrm{i}-1}{2}=\frac{a-1}{2}-\frac{a+1}{2}\,\mathrm{i}$$

② 认清实部、虚部。 现在 $z$ 已经是标准代数形式：实部是 $\frac{a-1}{2}$（不含 $\mathrm{i}$ 的那一块），虚部是 $-\frac{a+1}{2}$（$\mathrm{i}$ 前面的系数）。别读反：虚部是 $-\frac{a+1}{2}$，不是 $\frac{a-1}{2}$，更不带 $\mathrm{i}$。

③ 令实部为零。 纯虚数要「实部 $=0$ 且虚部 $\neq 0$」，先解实部那一半：

$$\frac{a-1}{2}=0\implies a=1$$

④ 回代验证虚部非零。 $a=1$ 时虚部 $=-\frac{1+1}{2}=-1\neq 0$，满足「纯虚数」的第二个条件（此时 $z=0-\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，确是个纯虚数）。

故 $a=1$，选 A。

解法二：设成纯虚数交叉相乘

怎么想到的。 解法一先做除法、再读实部；这条路反过来，把除法整个绕过去。纯虚数的定义本身就是一个现成的式子：$z$ 是纯虚数，就是说存在一个非零实数 $b$ 使 $z=b\,\mathrm{i}$。既然题目说 $\frac{a-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ 是纯虚数，那就把它设成 $b\,\mathrm{i}$，两边交叉相乘消掉分母，再用「复数相等 ⟺ 实部、虚部分别相等」把 $a$ 和 $b$ 一起解出来。

① 设。 令

$$\frac{a-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=b\,\mathrm{i},\qquad b\in\mathbf{R},\ b\neq 0$$

② 交叉相乘。 两边同乘 $1+\mathrm{i}$，再照复数的乘法 展开、把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$：

$$a-\mathrm{i}=(1+\mathrm{i})\,b\,\mathrm{i}=b\,\mathrm{i}+b\,\mathrm{i}^2=b\,\mathrm{i}-b=-b+b\,\mathrm{i}$$

③ 实部对实部、虚部对虚部。 左边 $a-\mathrm{i}$ 的实部是 $a$、虚部是 $-1$；右边 $-b+b\,\mathrm{i}$ 的实部是 $-b$、虚部是 $b$。两个复数相等，当且仅当实部、虚部分别相等：

$$\begin{cases} a=-b,\\ -1=b. \end{cases}$$

由第二式得 $b=-1$，代进第一式 $a=-(-1)=1$。而 $b=-1\neq 0$，正好满足「纯虚数」要求的那个非零条件，一切自洽。

故 $a=1$，选 A。

这两条路差在哪。 解法一顺着「分式」这个形状走：先分母实数化、把 $z$ 展成标准代数形式，再令实部为零——这是解这类题的通用动作，换个问法（「$z$ 是实数」就把实部换成虚部）照样能用。解法二顺着「纯虚数」这个身份走：直接设成 $b\,\mathrm{i}$、交叉相乘，根本不碰除法，少一次分母实数化，也就少一个算错 $\mathrm{i}^2$ 负号、或把含 $\mathrm{i}$ 的分母硬约掉的机会。代价是要多引一个未知数 $b$，再用复数相等 把它拆成两个实数等式。

🕳️ 避坑

• 纯虚数要两个条件。 实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$，只写前一半会把 $z=0$ 混进来，而 $0$ 是实数、不是纯虚数。本题 $a=1$ 时虚部是 $-1\neq 0$，漏掉后一半这次侥幸不改变答案——换一道题就可能漏掉一个多出来的解。
• 虚部不带 $\mathrm{i}$，更不是实部。 本题虚部是 $-\frac{a+1}{2}$。把它读成实部 $\frac{a-1}{2}$（或把「纯虚数」记成「虚部为零」），令错的式子就得到 $a=-1$，正好是选项 B。
• 分母带 $\mathrm{i}$ 就同乘共轭，别硬约。 解法一里同乘的是 $1-\mathrm{i}$（分母的共轭）；把 $1+\mathrm{i}$ 当实数硬约、或同乘分母自己而不是它的共轭，都会得到另一个数。

对照选项 A. $1$、B. $-1$、C. $\sqrt{2}$、D. $-\sqrt{2}$，故选 A。