浙江 2020 · 数学 q02

冷启动：先把这个复数摆成标准模样

题目给的是

$$z=(a-1)+(a-2)\mathrm{i},\qquad a\in\mathbf{R}$$

一个复数写成 $x+y\mathrm{i}$ 时，$x$ 叫实部、$y$ 叫虚部——前提是 $x,y$ 都得是实数。这里 $a$ 是实数，所以 $a-1$、$a-2$ 也都是实数，上面这个写法已经是标准模样了：

$$\text{实部}=a-1,\qquad \text{虚部}=a-2$$

别小看题面开头那句「已知 $a\in\mathbf{R}$」。它不是背景交代，是下一步的通行证：只有确认了实部、虚部都是实数，才谈得上「虚部等于几」。若 $a$ 本身还可能是虚的，$a-2$ 就不一定是虚部，后面整条推理都不成立。

问题问的是「$z$ 是实数时 $a$ 等于几」。所以真正要做的，是把「是实数」这句中文翻译成一个能解的式子。

解法一：按定义令虚部为零

怎么想到的。 课本对复数的分类只有一句话：$z=x+y\mathrm{i}$（$x,y$ 实数）当且仅当 $y=0$ 时是实数。既然「是实数」这个条件在定义里就等价于「虚部为零」，那就直接用它——把虚部揪出来，令它等于 $0$。

① 揪出虚部。 虚部是 $\mathrm{i}$ 前面的系数，即 $a-2$（不是 $a-1$，也不是 $(a-2)\mathrm{i}$）。

② 令它为零。

$$a-2=0 \implies a=2$$

③ 回代验证。 $a=2$ 时

$$z=(2-1)+(2-2)\mathrm{i}=1+0\cdot\mathrm{i}=1$$

是实数，成立。顺手看一眼最像的干扰项：$a=1$ 时 $z=0+(1-2)\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，虚部是 $-1\neq 0$，它是纯虚数、不是实数，所以 A 不对——那正是把实部与虚部读反的人会选的那一个。

故 $a=2$，选 C。

解法二：在复平面上求轨迹与横轴的交点

怎么想到的。 复数 $x+y\mathrm{i}$ 在复平面上就是点 $(x,y)$：横坐标记实部、纵坐标记虚部。于是「$z$ 是实数」这句话有了一个纯几何的说法——这个点落在横轴上（纵坐标为 $0$）。而本题的点还带着一个参数：

$$Z(a-1,\ a-2)$$

$a$ 一变，点就动。它会沿着什么路线动？ 这一步一问，问题就从「解方程」变成了「一条线与一条轴在哪相交」。

① 求 $Z$ 的轨迹。 记 $x=a-1$、$y=a-2$，把参数 $a$ 消掉：由第一式得 $a=x+1$，代进第二式

$$y=(x+1)-2=x-1$$

所以 $a$ 取遍全体实数时，$Z$ 跑遍直线 $y=x-1$ 上的每一个点。（横、纵坐标同时随 $a$ 增加，差恒为 $1$，所以是一条斜率为 $1$ 的直线——这一点从形式上就能预判。）

② 与横轴求交。 落在横轴上就是 $y=0$：

$$x-1=0 \implies x=1$$

交点是 $Z(1,0)$，唯一一个。

③ 回到 $a$。 由 $x=a-1=1$ 得 $a=2$，与解法一一致。

这两条路差在哪。 解法一是代数的：认出虚部、令它为零，一步到位，考场上五秒钟的事。解法二是几何的：它先把「所有可能的 $z$」画成一条线，再把「是实数」画成一条轴，答案是两者的交点。多绕的这一步买到了两样东西——一是看得见唯一性（一条斜线与一条横线只交于一点，所以合格的 $a$ 只有一个，不必再担心漏解）；二是换个问法照样能用：问「$z$ 是纯虚数」就改和纵轴求交（还要去掉原点），问「$z$ 对应的点在第三象限」就看这条线落在第三象限的那一段。代数解法换一个问法要重新列一遍式子，几何解法只换一条线。

🕳️ 避坑

• 虚部是系数，不带 $\mathrm{i}$，更不是实部。 本题虚部是 $a-2$；写成 $(a-2)\mathrm{i}$ 或读成 $a-1$ 都会让方程列错。读成实部就得 $a=1$，正是选项 A。
• 「是实数」不等于「实部为零」。 这两句话在图上是两条不同的轴：实数在横轴，纯虚数在纵轴（去掉原点）。
• 纯虚数要两个条件。 本题没问，但同一句式的题常问：纯虚数是「实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$」，只写前一半会把 $z=0$ 混进来，而 $0$ 是实数。

对照选项 A. $1$、B. $-1$、C. $2$、D. $-2$，故选 C。