浙江 2018 · 数学 q04

冷启动：这题在要什么

已知复数 $\dfrac{2}{1-i}$（$i$ 为虚数单位），问它的共轭复数。

共轭的规矩只有一条：先把数写成标准代数形式 $a+bi$，再只把虚部的符号取反、实部不动，得到 $a-bi$。分母还带着 $i$，现在还看不出 $a$、$b$ 是多少，所以得先处理这个分式。

两条路的差别在于：你是先把 $z$ 算出来再取共轭，还是认出「共轭可以穿过除号」，直接去算 $\bar{z}$。

解法一：分母实数化算出 z 再取共轭

怎么想到的。 题目给的是个分式，分母 $1-i$ 不是实数，$\dfrac{2}{1-i}$ 还不算算完。复数除法的标准动作是分母实数化：分子分母同乘分母的共轭，分母就变成实数。这正是化为标准代数形式那套手法。算出 $z=a+bi$ 之后，共轭就是把虚部翻号。

① 分子分母同乘 $1+i$（分母 $1-i$ 的共轭），用复数的乘法展开：

$$z=\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{1-i^{2}}=\frac{2(1+i)}{1-(-1)}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i$$

（分母 $(1-i)(1+i)=1-i^{2}=2$；记住 $i^{2}=-1$。）

于是 $z=1+i$，即 $a=1$、$b=1$。

② 取共轭。 只翻虚部的号：

$$\bar{z}=1-i$$

解法二：先用共轭的商性质

怎么想到的。 题目要的不是 $z$，而是 $\bar{z}$。共轭对四则运算是可分配的：

$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\qquad(w\neq 0)$$

分子 $2$ 是实数，共轭还是它自己；分母 $1-i$ 的共轭是 $1+i$。于是所求直接变成另一个分式，连 $z$ 本身都不用写出来。

① 先取共轭，穿过除号：

$$\overline{\left(\frac{2}{1-i}\right)}=\frac{\overline{2}}{\overline{1-i}}=\frac{2}{1+i}$$

② 再把这个更简单的分式实数化。 分子分母同乘 $1-i$：

$$\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(1-i)}{1-i^{2}}=\frac{2(1-i)}{2}=1-i$$

和解法一落到同一个数。

几何上在干什么。 在复平面上，取共轭就是关于横轴（实部那条轴）翻折。所以「先共轭再除」的意思是：先把分母 $1-i$ 翻到 $1+i$，再取 $2$ 除以它——翻折和取倒数这两步谁先谁后，最后落到同一点。

这两条路差在哪。 解法一是「无脑通用」的：把 $z$ 完整算成 $a+bi$，再按定义翻虚部，任何共轭题都走得通。解法二是「看穿结构」的：它认出共轭对除法可分配，于是跳过 $z$ 本身，直接算 $\bar{z}$。本题问的就是共轭，记住 $\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}$ 这一句，往往比算全 $z$ 少写一行。

避坑

• 算出 $z=1+i$ 就停、去对选项 A，是最常见的漏步：题目要的是共轭，不是 $z$ 自己。
• 取共轭只翻虚部的号，实部不动。把 $1+i$ 整个取负得到 $-1-i$（选项 D），或只翻实部得到 $-1+i$（选项 C），都是把符号记混了。
• 分母 $1-i$ 是一个整体、且不是实数，不能把分子的 $2$ 和分母的 $1$ 硬约。必须同乘共轭，把分母变成实数 $2$。

对照选项 A. $1+i$、B. $1-i$、C. $-1+i$、D. $-1-i$，故选 B。