浙江 2024 · 数学 q05

转着看 · 换个机位再判断

圆柱与圆锥：同底（$r=3$）、同高（$h=\sqrt{3}$）、侧面积相等 ⟹ $2\pi rh=\pi rl$ 约去 $\pi r$ 得 $l=2h$，再由 $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ 得 $r^{2}=3h^{2}$，即 $r=3$、$l=2\sqrt{3}$；于是圆锥体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=3\sqrt{3}\pi$（官方答案 B），而同底等高的圆柱是它的 $3$ 倍

机位1题图角度2正对 圆锥轴截面3沿 圆锥轴截面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：三个公式 + 一个直角

假设你刚学旋转体的表面积与体积。本题要用的全部公式：

• 圆柱侧面积：侧面展开是一个矩形，一边是底面周长 $2\pi r$、一边是高 $h$，所以 $S_{\text{柱侧}}=2\pi r h$。
• 圆锥侧面积：侧面展开是一个扇形，半径是母线 $l$、弧长是底面周长 $2\pi r$，扇形面积 $=\frac12\times$ 弧长 $\times$ 半径，所以 $S_{\text{锥侧}}=\pi r l$。
• 圆锥体积：$V=\frac13\pi r^2h$——那个 $\frac13$ 是易错点「圆锥体积漏乘三分之一」守的地方。

外加一个直角：母线 $l$、高 $h$、底面半径 $r$ 围成直角，$l=\sqrt{r^2+h^2}$。题目给的是高，侧面积公式要的是母线——这一步换算就是本题的题眼。

题目在说什么。 圆柱、圆锥底面半径都是 $r$（同一个未知数），高都是 $\sqrt3$，侧面积相等。一个未知数、一个方程，下面一条正解、一条反验。

解法一：侧面积相等列方程

怎么想到的。 条件只有「侧面积相等」这一句能列方程，那就把两侧的侧面积都用 $r$ 写出来，令它们相等——方程自然长出来。

① 圆柱的侧面积（$h=\sqrt3$ 直接代）：

$$S_{\text{柱侧}}=2\pi r\sqrt3$$

② 圆锥的侧面积（先过高到母线的换算）：$l=\sqrt{r^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{r^2+3}$，所以

$$S_{\text{锥侧}}=\pi r\sqrt{r^2+3}$$

③ 相等、解 $r$。 $\pi r$ 两边都有、且 $r>0$，约掉：

$$2\sqrt3=\sqrt{r^2+3}\ \Longrightarrow\ 12=r^2+3\ \Longrightarrow\ r^2=9,\ r=3$$

④ 代体积公式：

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot 9\cdot\sqrt3=\boxed{3\sqrt3\,\pi}$$

故选 B。

解法二：代回验证

怎么想到的。 四个选项是四个具体体积。由体积公式 $V=\frac13\pi r^2\sqrt3$ 可以反推出每个选项暗含的 $r^2$；再代回「侧面积相等」验一遍——正着解是「从条件找答案」，反着验是「拿答案试条件」。这就是代回验证。

① 侧面积条件先化简（公式同解法一）：$2\pi r\sqrt3=\pi r\sqrt{r^2+3}$，约去 $\pi r$、两边平方，得

$$r^2=9$$

即无论谁对谁错，半径的平方必须是 9。

② 每个选项反推 $r^2$。 由 $V=\frac13\pi r^2\sqrt3$ 得 $r^2=\dfrac{\sqrt3\,V}{\pi}$：

• A. $V=2\sqrt3\pi \Rightarrow r^2=6$。✗
• B. $V=3\sqrt3\pi \Rightarrow r^2=9$。✓
• C. $V=6\sqrt3\pi \Rightarrow r^2=18$。✗
• D. $V=9\sqrt3\pi \Rightarrow r^2=27$。✗

只有 B 的半径满足侧面积条件。故选 B。

顺带看懂 D 是怎么埋的。 $9\sqrt3\pi$ 恰好是 $3\sqrt3\pi$ 的三倍——正是「圆锥体积漏乘 $\frac13$」会得到的结果（$\pi r^2h=9\sqrt3\pi$）。选项里那个三倍值，是给漏乘的人量身定做的。C 的 $6\sqrt3\pi$ 则是「侧面积公式里 $l$ 直接当成 $h$」的连锁后果：那样列不出方程，硬凑常从这个方向开始错。

🕳️ 避坑

• 侧面积公式里的 $l$ 是母线不是高：$l=\sqrt{r^2+3}$，别把 $\sqrt3$ 直接塞进 $\pi r l$。
• 体积先写 $\frac13$ 再代数：漏了它，本题正好落到 D。
• 约 $\pi r$ 之前确认 $r>0$（半径当然为正）——约分要有依据，但也别因为怕约分而不敢动手。
• 解法二反推时，$r^2=\dfrac{\sqrt3\,V}{\pi}$ 是从 $V=\frac13\pi r^2\sqrt3$ 来的，别把 $\frac13$ 又在分母里漏一次。