浙江 2024 · 数学 q05

题面

5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 $\sqrt{3}$, 则圆锥的体积为 ( ) A. $2 \sqrt{3} \pi$ B. $3 \sqrt{3} \pi$ C. $6 \sqrt{3} \pi$ D. $9 \sqrt{3} \pi$

答案

B

解析

分析

设圆柱的底面半径为 $r$ ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 $r$ 的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

设圆柱的底面半径为 $r$，则圆锥的母线长为 $\sqrt{r^2 + 3}$，而它们的侧面积相等，所以 $2\pi r \times \sqrt{3} = \pi r \times \sqrt{3 + r^2}$ 即 $2\sqrt{3} = \sqrt{3 + r^2}$，故 $r = 3$，故圆锥的体积为 $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\pi$.

故选：B.