浙江 2024 · 数学 q03

冷启动：垂直怎么翻成坐标

假设你刚学平面向量的坐标运算。向量一写上坐标，所有运算都退化成算术：

• 加减与数乘：对应分量各算各的。$4\vec a=(0,4)$，$\vec b-4\vec a=(2-0,\ x-4)=(2,x-4)$。
• 垂直的翻译（本题唯一要的新公式）：

$$\vec p\perp\vec q\ \Longleftrightarrow\ \vec p\cdot\vec q=0\ \Longleftrightarrow\ p_1q_1+p_2q_2=0$$

一句话：对应相乘、再相加、等于零。别和平行（共线）条件「交叉相乘相等」记混——那是易错点「垂直与平行的坐标条件记混」指的那对。

题目在说什么。 $\vec b$ 里藏着一个未知数 $x$；「$\vec b$ 与 $\vec b-4\vec a$ 垂直」给出一个关于 $x$ 的方程。下面一条代数路、一条几何路。

解法一：坐标运算直算

怎么想到的。 垂直已经是现成的坐标公式了，那就把 $\vec b$ 与 $\vec b-4\vec a$ 的坐标分别写清，代进去——剩下的只是一元二次方程。这就是向量坐标化：几何条件一句话，坐标算术算到底。

① 写出两个向量的坐标：

$$\vec b=(2,x),\qquad \vec b-4\vec a=(2,\ x-4)$$

② 代垂直条件（对应相乘再相加）：

$$2\cdot 2+x(x-4)=0$$

③ 整理：

$$x^2-4x+4=0\ \Longrightarrow\ (x-2)^2=0\ \Longrightarrow\ \boxed{x=2}$$

注意左边恰好配成完全平方——$(x-2)^2=0$ 是二重根，所以 $x$ 只有唯一一个值。这个「唯一」不是巧合，解法二里它会用另一种面貌再出现一次。

④ 对选项。 A. $-2$、B. $-1$、C. $1$、D. $2$——$x=2$，故选 D。三个干扰项代回去各自错多少：$(-2-2)^2=16$、$(-1-2)^2=9$、$(1-2)^2=1$，没有一个是 $0$。

解法二：几何法看垂直

怎么想到的。 坐标还有第二重身份：点。把 $\vec b=(2,x)$ 看成点 $B(2,x)$，把 $4\vec a=(0,4)$ 看成点 $M(0,4)$，那么 $\vec b-4\vec a$ 就是从 $M$ 指向 $B$ 的向量 $\overrightarrow{MB}$。题设「$\vec b\perp(\vec b-4\vec a)$」瞬间变成一句平面几何：

$$OB\perp MB$$

即 $B$ 对线段 $OM$ 张直角（$O$ 是原点；$B$ 的横坐标是 $2$，不会与 $O$、$M$ 重合，没有退化情形）。

张直角的点在哪？ 初中有条定理：直径所对的圆周角是直角。它的逆命题同样成立——对一条线段张直角的点，必在以这条线段为直径的圆上。所以 $B$ 落在「以 $OM$ 为直径的圆」上：

$$\text{圆心 }(0,2),\quad \text{半径 }2:\qquad u^2+(v-2)^2=4$$

但 $B$ 的横坐标被钉死了：$\vec b=(2,x)$ 说明 $B$ 在竖直线 $u=2$ 上。代进圆方程：

$$2^2+(x-2)^2=4\ \Longrightarrow\ (x-2)^2=0\ \Longrightarrow\ \boxed{x=2}$$

那个「唯一」在这里现形了：竖直线 $u=2$ 与圆恰好相切于 $(2,2)$——切点只有一个，正对应解法一里 $(x-2)^2=0$ 的二重根。代数里的「二重根」与几何里的「相切」，是同一件事的两种说法。

这两条路差在哪。 解法一不动图形，垂直条件直接进公式，是最稳的保底；解法二把同一个条件看出来——它不能替代解法一的普遍性（换个数字圆就不这么漂亮了），但它解释了「为什么答案恰好只有一个」，而且「张直角 ⇒ 在圆上」这套眼光在立体几何与解析几何里会反复救场。

🕳️ 避坑

• 垂直条件是 $x_1x_2+y_1y_2=0$（对应相乘再相加），别套成共线的 $x_1y_2=x_2y_1$。本题若错列成 $2(x-4)=2x$，会得 $-8=0$ 当场卡死——卡死是好事，它提醒你公式套错了。
• $\vec b-4\vec a=(2,\ x-4)$，减法的顺序别反：写成 $(2,4-x)$，方程就变成 $4+x(4-x)=0$，根全错。
• $(x-2)^2=0$ 是二重根，答案只有一个 $x=2$；别说成「两个解 $x=\pm2$」——那是把 $x^2-4x+4=0$ 与 $x^2-4=0$ 弄混了。