浙江 2024 · 数学 q09

冷启动：三件套 + 一个开方

假设你刚学正态分布。$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的图象是一条钟形曲线，本题要用的全部工具：

① 对称性。 曲线关于 $x=\mu$ 对称，所以左右镜像的两条尾巴一样粗：

$$P(X>\mu+t)=P(X<\mu-t)$$

② 总面积为 1。 $P(X>t)=1-P(X\le t)$。

③ 区间嵌套。 边界离 $\mu$ 越远，尾巴越细：$P(X>\mu+2\sigma)<P(X>\mu+\sigma)$。

先开方。 $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二参数是方差。题给 $s^2=0.01$，所以 $\sigma=\sqrt{0.01}=0.1$——易错点「正态第二参数当标准差」守的就是这一步，先开对再谈别的。

题目给的基准。 $P(Z<\mu+\sigma)\approx0.8413$——由 ①②，它等价于单尾 $P(Z>\mu+\sigma)\approx1-0.8413=0.1587$。整道题就是把四个概率往这两个数上靠。

解法一：边界翻译成 μ±kσ

怎么想到的。 四个选项问的都是「$P(\cdot>2)$ 与某数的大小」。$2$ 这个边界本身没意思，有意思的问法是：$2$ 离 $\mu$ 有几个 $\sigma$？ 翻译过去，基准概率直接能用。

先判 Y（$\mu=2.1$，$\sigma=0.1$）。边界 $2=2.1-0.1=\mu-\sigma$，于是用①：

$$P(Y>2)=P(Y>\mu-\sigma)=P(Y<\mu+\sigma)\approx0.8413$$

• C：$0.8413>0.5$。对。
• D：$0.8413<0.8$？错（它比 $0.8$ 大）。

再判 X（$\mu=1.8$，$\sigma=0.1$）。边界 $2=1.8+0.2=\mu+2\sigma$，于是用③再套基准：

$$P(X>2)=P(X>\mu+2\sigma)<P(X>\mu+\sigma)\approx0.1587$$

• A：$0.1587>0.2$？错。
• B：$0.1587<0.5$。对。

综上，B、C 对，故选 BC。

为什么这道题只有一条路

四个选项的判定经过的是同一个动作：把边界 $2$ 翻译成「$\mu\pm k\sigma$」，然后搬三件套。你也可以先标准化（减 $\mu$ 除 $\sigma$）再比——那只是把同一个动作搬进另一个坐标系，边界 $2$ 变成 $z$ 值，基准 $0.8413$ 变成 $\Phi(1)$，知识与推进一步没多、一步没少。所以它俩是一条路的两种记账，不是两条路。

真正值得带走的是那句翻译口诀：正态题，先把边界写成「$\mu$ 加减几个 $\sigma$」。

🕳️ 避坑

• $\sigma$ 先开方：$s^2=0.01\Rightarrow\sigma=0.1$。当成 $0.01$ 的话，$2$ 会被翻译成「$\mu+20\sigma$」，A 就被误判成「概率几乎为 0」之外的各种离谱结论。
• 对称轴是 $x=\mu$、不是 $x=0$：$P(Y>2)=P(Y<2.2)$ 是因为 $2$ 与 $2.2$ 关于 $2.1$ 对称。
• D 埋的是「$0.8413$ 与 $0.8$ 谁大」的眼花——基准概率背成整数位再比，别只记得「八成多」。
• 多选题每个选项独立判：C 对了不影响 D 错，别按单选思维「选一个就走」。