正态分布

教材原文

若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $f(x)$，则称随机变量 $X$ 服从正态分布 (normal distribution)，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。特别地，当 $\mu = 0$，$\sigma = 1$ 时，称随机变量 $X$ 服从标准正态分布。

(1) 曲线是单峰的，它关于直线 $x = \mu$ 对称；

要点

• $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二个参数是方差 $\sigma^2$，标准差是 $\sigma$——开方这一步见易错点「正态第二参数当标准差」。
• 曲线关于 $x=\mu$ 对称，故 $P(X>\mu+t)=P(X<\mu-t)$；总面积为 $1$，故 $P(X>t)=1-P(X\le t)$。
• 常用基准：$P(X<\mu+\sigma)\approx0.8413$（单尾 $\approx0.1587$）；$3\sigma$ 原则 $P(|X-\mu|\le k\sigma)\approx 0.6827,\ 0.9545,\ 0.9973$（$k=1,2,3$）。
• 「区间越小概率越小」：比较两个尾部概率，先比它们的边界离 $\mu$ 有多远。