7.5 正态分布

前面几节的随机变量都是离散型的：取值能一个一个列出来，概率能一格一格填进分布列。 这一节要处理的是另一类——测量误差、身高、体重、零件尺寸，它们的取值充满一整个区间， 取到任何一个具体值的概率都是 $0$，分布列写不出来。这类随机变量叫连续型随机变量。

连续型随机变量里最重要的一个模型就是正态分布。这一份按”它从哪来 → 曲线长什么样 → 两个参数管什么 → 会算哪几个概率”的顺序讲。要先说破一件事： 高中阶段考正态分布，真正要会的只有对称性与 $3\sigma$ 那三个数， 密度函数的解析式一次也用不上——但它值得看一眼， 因为曲线的每一个特点都是从它读出来的。

一、它从哪来：直方图不断加密的极限

课本从袋装食盐的质量误差讲起：标准质量 $400\ \mathrm{g}$，抽 100 袋，记误差 $X = \text{实际质量} - 400$（单位 $\mathrm{g}$），画出频率分布直方图。

看图能读出三件事：误差有正有负、大致关于 $X = 0$ 对称、小误差比大误差频繁。

接着做一件想象中的事：样本量越来越大、分组越来越多、组距越来越小。由频率的稳定性， 直方图的轮廓会越来越稳定，逼近一条光滑的钟形曲线。直方图里”小矩形的面积 = 频率”， 到极限就成了”曲线下的面积 = 概率”——误差落在 $[-2, -1]$ 内的概率，就是曲线下那一段的面积。

这条钟形曲线有解析式：

其中 $\mu \in \mathbf{R}$、$\sigma > 0$ 是两个参数。对任意 $x$ 都有 $f(x) > 0$（图象在 $x$ 轴上方）， 且可以证明 $x$ 轴与曲线之间的区域面积为 $1$。

称 $f(x)$ 为正态密度函数，它的图象为正态曲线。若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数就是 $f(x)$，则称 $X$ 服从正态分布，记为

$X \sim N(\mu,\ \sigma^2).$

特别地，$\mu = 0$、$\sigma = 1$ 时称 $X$ 服从标准正态分布，记为 $N(0, 1)$。

记法要看清：括号里第二个位置写的是方差 $\sigma^2$，不是标准差。$N(170, 5^2)$ 里的 $\sigma = 5$，$N(0, 2^2)$ 里的 $\sigma = 2$；若题目写成 $N(1.8,\ 0.1^2)$，$\sigma$ 就是 $0.1$。 把 $\sigma^2$ 当成 $\sigma$ 用，是这一节最常见的一处错。

二、面积就是概率

这是整节的翻译规则，只有一句：概率 = 曲线下的面积。

• $P(X \leqslant x)$ = 曲线下、直线 $X = x$ 左边那一块的面积；
• $P(a \leqslant X \leqslant b)$ = 曲线下、$a$ 与 $b$ 之间那一块的面积；
• 全部面积 = $1$。

由此立刻得到一条在解题中比密度函数有用得多的性质： 连续型随机变量取到任何一个具体值的概率都是 $0$（一条线段没有面积）。所以

$P(X < a) = P(X \leqslant a), \qquad P(a < X < b) = P(a \leqslant X \leqslant b),$

端点取不取到无所谓——这与离散型完全不同，在离散型那边少算一个端点就少一项概率。 题面写 $\{165 < X \leqslant 175\}$ 还是 $\{165 \leqslant X \leqslant 175\}$，答案一样。

至于 $P(X \leqslant x)$ 本身，只能靠数值积分近似算（查正态分布表或用计算器、软件）。 高考不会让你去积分——它只会考下面两条能”不算而知”的性质。

三、正态曲线的三个特点，与两个参数管什么

由密度函数的形状可以读出：

1. 曲线是单峰的，关于直线 $x = \mu$ 对称；
2. 曲线在 $x = \mu$ 处达到峰值 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$；
3. 当 $|x|$ 无限增大时，曲线无限接近 $x$ 轴。

两个参数各管一件事：

• $\mu$ 管位置。 $\sigma$ 固定时，改变 $\mu$ 只是把整条曲线沿 $x$ 轴平移 （因为 $y = f(x - \mu)$ 的图象由 $y = f(x)$ 平移得到）。$\mu$ 反映集中位置。
• $\sigma$ 管胖瘦。 $\mu$ 固定时，峰值 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 与 $\sigma$ 成反比， 而曲线下的总面积永远是 $1$。于是 $\sigma$ 小 $\Rightarrow$ 峰高、曲线瘦高、取值集中； $\sigma$ 大 $\Rightarrow$ 峰低、曲线矮胖、取值分散。$\sigma$ 反映离散程度。

并且

$X \sim N(\mu,\ \sigma^2) \ \Longrightarrow\ E(X) = \mu,\quad D(X) = \sigma^2 .$

实际问题里，$\mu$、$\sigma$ 分别用样本均值与样本标准差来估计——注意题目常给的是 样本方差，要先开方才是 $\sigma$（“样本方差为 4”意味着 $\sigma \approx 2$，不是 4）。

对称性怎么用（考得最多的一条）

曲线关于 $x = \mu$ 对称，于是对任意 $c > 0$：

配上”总面积为 1”，就能把很多看似要查表的概率一步换算出来：

$P(X \leqslant \mu + c) = 1 - P(X \geqslant \mu + c) = 1 - P(X \leqslant \mu - c).$

技巧只有一个：把题目问的那个点写成 $\mu$ 加减某个量的形式，再看这个量与 $\sigma$ 的关系。

四、$3\sigma$ 原则：要背的就这三个数

可以证明：对给定的 $k \in \mathbf{N}^*$，$P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma)$ 是一个只与 $k$ 有关的定值（与 $\mu$、$\sigma$ 具体是多少无关）。特别地，

在 $[\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma]$ 之外取值的概率大约只有 $0.0027$，通常认为几乎不可能发生； 实际应用中就把服从 $N(\mu, \sigma^2)$ 的 $X$ 当作只取 $[\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma]$ 中的值， 这称为 $3\sigma$ 原则。

由这三个数 + 对称性，可以拼出考试里几乎全部要算的概率。把它们记成半区间的形式更好用：

$0.1587$ 与 $0.0228$ 这两个数值得单独记住——“高于平均一个标准差的大约 16%“是现实里最常被 引用的一句统计常识，也是本节习题与真题反复用到的那个数（第 12 题把 $16\%$、$34\%$ 直接写进了 题面）。

五、算一个概率的三步法

第 1 步：把 $\mu$ 与 $\sigma$ 认出来。 从 $N(\mu, \sigma^2)$ 里读，或由样本均值 / 样本标准差 估计（样本方差要开方）。

第 2 步：把区间端点写成 $\mu \pm k\sigma$。 例如 $X \sim N(170, 5^2)$， $165 = 170 - 5 = \mu - \sigma$，$175 = \mu + \sigma$。这一步是全部的技术含量： 写不成整数倍，就只能用对称性做定性比较，不必硬求数值。

第 3 步：套第四段那几条 + 对称性。 $P(165 < X \leqslant 175) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.6827$。

三步之外，还有一条定性比较的路，用在”两个正态分布谁的概率大”这类题上：

• 同一个 $\sigma$、不同的 $\mu$：曲线只是平移，把问题化到同一个 $\mu \pm k\sigma$ 上比 $k$；
• 同一个 $\mu$、不同的 $\sigma$：在以 $\mu$ 为中心的同一个区间上，$\sigma$ 小的概率大 （瘦高，面积更集中在中间）。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 把 $N(\mu, \sigma^2)$ 里的第二个数当成 $\sigma$。 $N(0, 2^2)$ 的 $\sigma$ 是 2； 若题目写成 $N(0, 4)$，$\sigma$ 是 $2$ 而不是 $4$。
2. 样本方差没开方。 “样本方差为 4”$\Rightarrow \sigma \approx 2$。
3. 单边与双边混。 $0.6827$ 是双边区间 $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$ 的概率； 单边的 $P(X \geqslant \mu + \sigma)$ 要写成 $\frac{1 - 0.6827}{2}$，不是 $1 - 0.6827$。
4. 对称轴用错。 对称轴是 $x = \mu$，不是 $x = 0$；只有标准正态分布才关于 $0$ 对称。
5. 纠结端点。 连续型随机变量取单点的概率为 $0$，$<$ 与 $\leqslant$ 结果相同，不必讨论。
6. 中途取近似。 $\frac{1 - 0.6827}{2} = 0.15865$；若最终答案要”精确到 0.0001”， 要留意 $0.6827$ 本身已经是四舍五入过的近似值，最后一位可能不可靠（本节习题详解第 1 题里 专门写了这一处）。

七、这一节考过的真题（怎么用它）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期派生出来的完整清单。这里说其中一道。

2024 年新课标Ⅰ卷第 9 题：已知某种植区以往的亩收入 $X \sim N(1.8,\ 0.1^2)$；抽样得到推动出口后 亩收入的样本均值 $\bar{x} = 2.1$、样本方差 $s^2 = 0.01$，假设推动出口后的亩收入 $Y \sim N(\bar{x},\ s^2)$。题面还附了一句 $P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413$， 要判断四个选项 A：$P(X>2)>0.2$，B：$P(X>2)<0.5$，C：$P(Y>2)>0.5$，D：$P(Y>2)<0.8$。

这道题是本节三步法的纯粹形态，一步不多一步不少：

• 先认参数：$X$ 的 $\mu = 1.8$、$\sigma = 0.1$；$Y$ 的 $\mu = 2.1$、 $\sigma = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.01} = 0.1$（样本方差开方，第六段第 2 条）。
• 再把 $2$ 写成 $\mu \pm k\sigma$：对 $X$ 是 $2 = 1.8 + 2 \times 0.1 = \mu + 2\sigma$； 对 $Y$ 是 $2 = 2.1 - 0.1 = \mu - \sigma$。
• 最后套数：$P(X > 2) = P(X > \mu + 2\sigma) \approx 0.0228$，所以它小于 $0.2$（A 错）、 小于 $0.5$（B 对）；$P(Y > 2) = P(Y > \mu - \sigma) = P(Y < \mu + \sigma) \approx 0.8413$ （这一步用的正是对称性），所以它大于 $0.5$（C 对）、也大于 $0.8$（D 错）。

答案是 BC。整道题没有一次积分、没有查表，全部由对称性 + $3\sigma$ 那三个数得到—— 这就是本节在高考里的样子。

读的顺序：先做本节练习第 1 题（把标准正态那五个空填熟）→ 习题 7.5 第 2 题（把端点写成 $\mu \pm \sigma$）→ 习题 7.5 第 4 题（样本方差开方 + $2\sigma$）→ 这道真题。 四步走完，这一节在高考里能考的形态就都见过了。

本节课本习题共 7 道：第 92 页「练习」的第 1、2 题，第 92 页「习题 7.5」的第 1、2、3、4 题， 以及第 96 页「复习参考题 7」里属于本节主题的第 12 题。

不收的两批，说清楚免得读者以为漏了：

• 「练习」第 3 题「举出两个服从正态分布的随机变量的例子」是开放式的，没有唯一解答，不收； 课本第 90 页正文列了一批（测量误差、同年龄人群的身高体重、零件尺寸、月平均气温……）， 上方扫描图里可直接读到。
• 「复习参考题 7」的第 1—11 题随印刷页排进了本节目录，但它们考的是本章别的节——条件概率与 全概率公式（第 1、2、3、7、10 题）、分布列与均值方差（第 4、5、8 题）、二项分布（第 6、9、11 题）， 按”跨节的归它自己那一节”不在这一份里。只有第 12 题考正态分布，收在下面。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 92 页）第 1 题

1. 设随机变量 $X \sim N(0, 1)$，则 $X$ 的密度函数为 ____，$P(X \leqslant 0) =$ ____，$P(|X| \leqslant 1) =$ ____，$P(X \leqslant 1) =$ ____，$P(X > 1) =$ ____。（精确到 0.0001.）

$X \sim N(0, 1)$ 即标准正态分布，$\mu = 0$，$\sigma = 1$。

第 1 空：密度函数。 把 $\mu = 0$、$\sigma = 1$ 代入正态密度函数 $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x \in \mathbf{R} .$

第 2 空：$P(X \leqslant 0)$。 曲线关于 $x = \mu = 0$ 对称，曲线下总面积为 $1$， 对称轴左右各占一半：

$P(X \leqslant 0) = 0.5000 .$

第 3 空：$P(|X| \leqslant 1)$。 $|X| \leqslant 1$ 就是 $-1 \leqslant X \leqslant 1$， 而 $-1 = \mu - \sigma$、$1 = \mu + \sigma$，正是 $3\sigma$ 原则的第一条：

$P(|X| \leqslant 1) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.6827 .$

第 4 空：$P(X \leqslant 1)$。 把 $(-\infty, 1]$ 拆成 $(-\infty, 0]$ 与 $[0, 1]$ 两块 （单点概率为 $0$，怎么拆都不影响）：

其中 $P(0 \leqslant X \leqslant 1) = \frac12 P(-1 \leqslant X \leqslant 1)$ 用的是对称性 （$[-1, 0]$ 与 $[0, 1]$ 两块面积相等）。代入得

$P(X \leqslant 1) \approx \frac{1 + 0.6827}{2} = \frac{1.6827}{2} = 0.84135 .$

这里要停一下：答案要求精确到 $0.0001$，而 $0.84135$ 恰好卡在 $0.8413$ 与 $0.8414$ 的正中间， 这一位由 $0.6827$ 的舍入误差决定、并不可靠。用更精确的 $P(|X| \leqslant 1) = 0.682689\cdots$ 重算，

$P(X \leqslant 1) = \frac{1 + 0.682689}{2} = 0.841345\cdots \approx 0.8413 .$

（这个值可与真题互核：2024 年新课标Ⅰ卷第 9 题的题面附注写的正是 $P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413$。）

第 5 空：$P(X > 1)$。 与上一空互为对立事件：

$P(X > 1) = 1 - P(X \leqslant 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587 .$

答案依次是：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\ (x \in \mathbf{R})$； $0.5000$；$0.6827$；$0.8413$；$0.1587$。

自查：$P(X \leqslant 1) + P(X > 1) = 0.8413 + 0.1587 = 1$，对上；且 $P(X > 1) = \frac{1 - 0.6827}{2} = 0.15865 \approx 0.1587$，与上式所得一致。

练习（第 92 页）第 2 题

2. 设随机变量 $X \sim N(0, 2^2)$，随机变量 $Y \sim N(0, 3^2)$，画出分布密度曲线草图，并指出 $P(X \leqslant -2)$ 与 $P(X \leqslant 2)$ 的关系，以及 $P(|X| \leqslant 1)$ 与 $P(|Y| \leqslant 1)$ 之间的大小关系.

先读参数。 $X \sim N(0, 2^2)$：$\mu_X = 0$，$\sigma_X = 2$； $Y \sim N(0, 3^2)$：$\mu_Y = 0$，$\sigma_Y = 3$。两个 $\mu$ 相同、$\sigma$ 不同， 这正是”同一条对称轴、比胖瘦”的情形。

草图怎么画（对着上方第 90 页图 7.5-6 那一组曲线的样子）： 两条钟形曲线都关于 $y$ 轴（即 $x = 0$）对称，都以 $x$ 轴为渐近线， 与 $x$ 轴之间的面积都等于 $1$。差别只在胖瘦—— 峰值 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 与 $\sigma$ 成反比，故

所以 $X$ 的曲线瘦高（峰更高、两侧下落更快），$Y$ 的曲线矮胖（峰更低、向两侧铺得更开）。 在 $x = 0$ 附近 $X$ 的曲线严格在 $Y$ 之上（$0.199 > 0.133$），而远端 $Y$ 的尾巴更厚、反超 $X$， 故两条曲线每侧各穿越一次（共两个交点，在 $x \approx \pm 2.4$ 处）； $|x| < 2.4$ 时 $X$ 在上，$|x| > 2.4$ 时 $Y$ 在上。

第一问：$P(X \leqslant -2)$ 与 $P(X \leqslant 2)$ 的关系。

$X$ 的曲线关于 $x = 0$ 对称，而 $-2$ 与 $2$ 关于 $0$ 对称，所以左尾 $(-\infty, -2]$ 与 右尾 $[2, +\infty)$ 两块面积相等：

$P(X \leqslant -2) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2),$

即

$P(X \leqslant -2) + P(X \leqslant 2) = 1, \qquad P(X \leqslant -2) < P(X \leqslant 2).$

（用 $3\sigma$ 原则还能把两个数算出来：$2 = \mu_X + \sigma_X$，故 $P(X \leqslant -2) = \frac{1 - 0.6827}{2} \approx 0.1587$， $P(X \leqslant 2) \approx 0.8413$，两数之和确为 $1$。）

第二问：$P(|X| \leqslant 1)$ 与 $P(|Y| \leqslant 1)$ 的大小。

两个概率说的是同一个区间 $[-1, 1]$ 上、两条曲线下方的面积。两条曲线都以 $0$ 为中心、 总面积都是 $1$，而 $X$ 的曲线更瘦高——它把面积更多地堆在 $0$ 附近，所以在 $[-1, 1]$ 上它下方的 面积更大：

$P(|X| \leqslant 1) > P(|Y| \leqslant 1).$

换成”几倍标准差”再核一遍：对 $X$，$1 = \frac12 \sigma_X$，区间是 $[\mu - 0.5\sigma,\ \mu + 0.5\sigma]$；对 $Y$，$1 = \frac13 \sigma_Y$，区间是 $[\mu - \frac13\sigma,\ \mu + \frac13\sigma]$。而 $P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma)$ 只与 $k$ 有关、且随 $k$ 递增 （$k = 1, 2, 3$ 时依次是 $0.6827 < 0.9545 < 0.9973$，区间变宽面积当然变大）。 这里 $\frac12 > \frac13$，所以仍得 $P(|X| \leqslant 1) > P(|Y| \leqslant 1)$，两种说法一致。

习题 7.5 第 1 题

1. 对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩 $X$ 服从正态分布 $N(72, 8^2)$，女生成绩 $Y$ 服从正态分布 $N(74, 6^2)$。请你从不同角度比较男生、女生的考试成绩。

读参数：男生 $\mu_X = 72$、$\sigma_X = 8$；女生 $\mu_Y = 74$、$\sigma_Y = 6$。 两个参数各管一件事，就从这两个角度比，再补一个高分段的比较。

角度一：平均水平（比 $\mu$）。

$E(X) = \mu_X = 72, \qquad E(Y) = \mu_Y = 74 .$

女生的平均成绩比男生高 $2$ 分。

角度二：稳定程度（比 $\sigma$）。

$D(X) = \sigma_X^2 = 64, \qquad D(Y) = \sigma_Y^2 = 36 .$

$\sigma_X = 8 > \sigma_Y = 6$，说明男生成绩的曲线更矮胖、取值更分散， 女生成绩的曲线更瘦高、更集中在平均分附近。换句话说：女生成绩更稳定，男生成绩两极分化 更明显。

角度三：分数段（把同一个分数写成各自的 $\mu \pm k\sigma$）。 这一角度能给出可比较的数。

先注意一个巧合：

$\mu_X + \sigma_X = 72 + 8 = 80, \qquad \mu_Y + \sigma_Y = 74 + 6 = 80 .$

$80$ 分对男生正好是”平均分往上一个标准差”，对女生也正好是”平均分往上一个标准差”。于是

$P(X > 80) = P(Y > 80) = \frac{1 - 0.6827}{2} \approx 0.1587 ,$

即男生与女生在 $80$ 分以上的比例相同（各约 $15.87\%$）；相应地 $80$ 分以下的比例也相同。

再往上看：$\mu_Y + 2\sigma_Y = 74 + 12 = 86$，故 $P(Y > 86) = \frac{1 - 0.9545}{2} \approx 0.0228$；而对男生 $86 < 88 = \mu_X + 2\sigma_X$，故

$P(X > 86) > P(X > 88) = \frac{1 - 0.9545}{2} \approx 0.0228 = P(Y > 86),$

即在 $86$ 分以上这一段，男生的比例反而高于女生——尽管男生平均分更低。原因正是角度二： 男生更分散，尾巴伸得更远。同理在低分段（例如 $64$ 分以下与 $68$ 分以下各约 $15.87\%$）， 男生也更差。

结论一句话：女生的平均水平更高、成绩更整齐；男生平均水平略低、分化更大， 在很高的分数段上人数占比反而更高。

习题 7.5 第 2 题

2. 某市高二年级男生的身高 $X$ (单位: $\mathrm{cm}$) 近似服从正态分布 $N(170, 5^2)$, 随机选择一名本市高二年级的男生, 求下列事件的概率: (1) $\{165 < X \leqslant 175\}$; (2) $\{X \leqslant 165\}$; (3) $\{X > 175\}$.

读参数：$\mu = 170$，$\sigma = 5$。把两个端点写成 $\mu \pm k\sigma$ 的形式：

$165 = 170 - 5 = \mu - \sigma, \qquad 175 = 170 + 5 = \mu + \sigma .$

（$X$ 是连续型随机变量，取到任何一个具体值的概率都是 $0$，所以下面不必区分 $<$ 与 $\leqslant$。）

(1) 正好是 $3\sigma$ 原则的第一条：

$P(165 < X \leqslant 175) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.6827 .$

(2) 区间 $[\mu - \sigma,\ \mu + \sigma]$ 之外的部分总概率是 $1 - 0.6827 = 0.3173$， 由对称性左右两尾各占一半：

$P(X \leqslant 165) = \frac{1 - 0.6827}{2} = \frac{0.3173}{2} = 0.15865 \approx 0.1587 .$

(3) 与 (2) 关于 $x = \mu$ 对称，两尾等面积：

$P(X > 175) = P(X \leqslant 165) \approx 0.1587 .$

答案：(1) 约 $0.6827$；(2) 约 $0.1587$；(3) 约 $0.1587$。

自查：三个事件两两互斥、并起来是整个实数轴，概率之和应为 $1$： $0.6827 + 0.15865 + 0.15865 = 1$，对上。

习题 7.5 第 3 题

3. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $X$ 位于区域 $[\mu, \mu + \sigma]$ 内的概率是多少？

区间 $[\mu,\ \mu + \sigma]$ 是区间 $[\mu - \sigma,\ \mu + \sigma]$ 的右半边。

正态曲线关于直线 $x = \mu$ 对称，而 $[\mu - \sigma,\ \mu]$ 与 $[\mu,\ \mu + \sigma]$ 这两段 关于 $x = \mu$ 互相对称，所以它们上方曲线下的面积相等：

$P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu) = P(\mu \leqslant X \leqslant \mu + \sigma).$

两者之和正是整段的概率（中间那一点 $x = \mu$ 概率为 $0$，重复计入不影响）：

答案：约 $0.3413$（即约 $34.13\%$）。

这个数与 $\mu$、$\sigma$ 的具体取值无关——课本那句 ”$P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma)$ 是一个只与 $k$ 有关的定值” 在这里体现得最直白。它也是下面第 12 题里 $34\%$ 这个比例的来历。

自查：$P(X \geqslant \mu) = 0.5$，而 $P(\mu \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.3413$， 两者之差 $0.5 - 0.3413 = 0.1587$ 正是 $P(X \geqslant \mu + \sigma)$，与第 2 题 (3) 所得一致。

习题 7.5 第 4 题

4. 袋装食盐标准质量为 $400\mathrm{g}$，规定误差的绝对值不超过 $4\mathrm{g}$ 就认为合格。假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4。请你估计这批袋装食盐的合格率。

设误差 $X = \text{实际质量} - 400$（单位 $\mathrm{g}$），题设 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。

第 1 步：用样本估计两个参数。 用样本均值估计 $\mu$、用样本标准差估计 $\sigma$。 题目给的是样本方差 $s^2 = 4$，要先开方：

$\mu \approx 0, \qquad \sigma \approx \sqrt{4} = 2 ,$

于是 $X$ 近似服从 $N(0, 2^2)$。（这里最容易错的一步就是把 $\sigma$ 写成 $4$。）

第 2 步：把合格条件写成区间，并化成 $\mu \pm k\sigma$。 合格就是”误差的绝对值不超过 $4\ \mathrm{g}$“，即 $|X| \leqslant 4$，也就是 $-4 \leqslant X \leqslant 4$。而

$-4 = 0 - 2 \times 2 = \mu - 2\sigma, \qquad 4 = 0 + 2 \times 2 = \mu + 2\sigma .$

第 3 步：套 $3\sigma$ 原则的第二条。

$P(|X| \leqslant 4) = P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 .$

答案：这批袋装食盐的合格率约为 $95.45\%$。

自查：不合格（误差绝对值超过 $4\ \mathrm{g}$）的比例约 $1 - 0.9545 = 0.0455$， 按对称性左右各约 $2.28\%$（偏轻与偏重各占一半），合乎”误差有正有负且对称”的设定。

复习参考题 7 第 12 题

12. 某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布 $N(75, 8^2)$。如果按照 $16\%$，$34\%$，$34\%$，$16\%$ 的比例将考试成绩分为 A，B，C，D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到 1）。

读参数：$\mu = 75$，$\sigma = 8$。设成绩为 $X \sim N(75, 8^2)$。

先认出题面那四个百分数是哪来的——这是整道题的钥匙：

$\frac{1 - 0.6827}{2} = 0.15865 \approx 16\%, \qquad \frac{0.6827}{2} = 0.34135 \approx 34\% .$

也就是说，$16\%$ 是”离平均分一个标准差以外”的单侧比例，$34\%$ 是”平均分到一个标准差之间”的 比例。四段合起来 $16\% + 34\% + 34\% + 16\% = 100\%$，正好把整条曲线分完， 分界点只能是这三个：

$\mu + \sigma = 75 + 8 = 83, \qquad \mu = 75, \qquad \mu - \sigma = 75 - 8 = 67 .$

逐段对上比例（A 为最高等级，按分数从高到低排）：

（$X$ 是连续型随机变量，单点概率为 $0$，所以分界点划到哪一段都不影响各段的概率， 上表把它归给了较高的那一段。）

答案：三条分数线是 $83$ 分、$75$ 分、$67$ 分——即 $83$ 分及以上为 A 等， $75$ 分到 $83$ 分为 B 等，$67$ 分到 $75$ 分为 C 等，$67$ 分以下为 D 等。 三个数都是整数，已满足”精确到 1”。

自查：四段概率之和 $0.15865 + 0.34135 + 0.34135 + 0.15865 = 1$，对上； 且分界点关于 $\mu = 75$ 对称（$83$ 与 $67$ 到 $75$ 的距离都是 $8$），与题面比例的对称性 （$16\%,\ 34\%,\ 34\%,\ 16\%$）一致。