浙江 2024 · 数学 q07

冷启动：先把两条曲线的档案读出来

假设你刚学正弦函数的图象。题目问「交点个数」，先翻译成代数：交点个数 $=$ 方程

在 $[0,2\pi]$ 上根的个数。这个方程没有好解（左边慢、右边快，化不出标准形）——所以它考的不是解方程，是读图。读图之前，把两条曲线的档案列清：

两个读数都要小心：

• 周期：快曲线的周期是 $\frac{2\pi}{3}$，所以区间 $[0,2\pi]$ 里恰好装 3 个完整周期——这是本题唯一的「剧透」。
• 平移：$2\sin(3x-\frac\pi6)=2\sin\big(3(x-\frac{\pi}{18})\big)$，右移的是 $\frac{\pi}{18}$ 不是 $\frac\pi6$（易错点「相位平移忘提系数」）。数交点其实用不到平移量的精确值，但画图定位零点要用。

解法一：图象法逐段数

怎么想到的。 方程化不动，就把两边各看成一条曲线：交点 $=$ 图上两条线的交叉。慢曲线一个周期摆一下，快曲线在同样的区间里摆三下——每个快周期与慢曲线相交两次，三段数完就是答案。这就是图象法数交点。

① 画慢曲线。 按上面五个点画出 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的一个拱形。

② 画快曲线。 周期 $\frac{2\pi}{3}$、振幅 $2$：在 $[0,2\pi]$ 上画三个完整的「上拱下拱」，峰到 $2$、谷到 $-2$。

③ 逐段数交叉。 慢曲线在 $[0,\pi]$ 上从 $0$ 缓升到 $1$ 再回落，快曲线在这里完成 $1.5$ 个周期，与它相交 $3$ 次；在 $[\pi,2\pi]$ 上镜像地再相交 $3$ 次——

故选 C。

解法二：符号表给图象上保险

怎么想到的。 「图上看着是 6 个」到底有没有数漏？给图象法配一个代数验钞机：令

交点就是 $h$ 的零点。$h$ 连续，相邻两个点函数值异号，中间就至少有一个零点（零点存在定理）。在哪些点上算最划算？快曲线的峰与谷——那里快曲线把 $h$ 拉向两个极端，符号最容易读。

① 定出六个极值点。 $3x-\frac\pi6=\frac\pi2+k\pi$，即 $x=\frac{2\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}$（$k=0,1,\dots,5$）。峰处快曲线取值 $+2$，谷处取值 $-2$。

② 逐点算 $h$ 的符号（峰处 $h=\sin x-2<0$ 必然，因为 $\sin x\le 1$；谷处 $h=\sin x+2>0$ 必然，因为 $\sin x\ge -1$）：

（端点处 $h(0)=h(2\pi)=0-2\sin(-\frac\pi6)=+1$。）

③ 数变号。 符号串 $+\,-\,+\,-\,+\,-\,+\,+$：相邻异号 6 次，每次锁定一个零点，且各落在哪两个点之间都指得出来——至少 6 个交点。「恰好 6 个」由解法一的图象补足（每个快周期只来回摆两次）。两层各管一半，定案。

故选 C。

这两条路差在哪。 解法一是几何的：快、准、能看出结构（每周期两个），但「恰好」两个字全靠眼睛。解法二是代数的：每个零点都有严格的居住证明（在哪两点之间），但「不会再多」它管不了。考场上先画后验：图象给答案，符号表给底气。

🕳️ 避坑

• 相位平移先提系数：右移 $\frac{\pi}{18}$，不是 $\frac\pi6$。平移量错，图上六个交点的位置全歪（个数碰巧不变，但下一道求位置、求对称轴的题就会错）。
• 振幅是 $2$：快曲线的峰谷到 $\pm2$，别按 $\pm1$ 画——画矮了会误以为「峰顶够不着慢曲线的某些部分」而漏数。
• 端点单独看一眼：$x=0$ 处两曲线取 $0$ 与 $-1$，不是交点；$x=2\pi$ 同理。数交点时顺手确认端点，既别漏、也别凭空多数。
• 选项 A（3）多半是「按 1 个周期算」、D（8）多半是「把区间估成 4 个周期」——周期先算准，是这类题的半条命。