浙江 2024 · 数学 q01

冷启动：两个词就够了

假设你完全没学过集合。这道题要用的全部知识就是下面两个词，读完就能自己把它做出来。

① 集合与它的两种写法。 把一些确定的、互不相同的对象放在一起、当成一个整体看，这个整体就是一个集合；里面的每个对象叫元素。写一个集合有两种办法：

• 列举法：把元素一个个写出来，如 $B=\{-3,-1,0,2,3\}$——里面有谁，一眼看完。
• 描述法：不给名单，只给一句「入会条件」，如 $A=\{x\mid -5<x^3<5\}$，读作「所有满足竖线右边那句不等式的 $x$」。

本题的 $A$ 里装着无穷多个实数（一个区间里的全部），永远列不完——所以「把 $A$ 也写成名单再对」这条路从根上就不存在，得换个打法。

② 交集。 两个集合 $A$、$B$ 的交集 $A\cap B$，是「既在 $A$ 里、又在 $B$ 里」的元素凑成的集合。两个条件缺一不可。

题目问 $A\cap B$ 是谁。$B$ 一共 $5$ 个数，所以问题立刻变成一句人话：这 $5$ 个候选里，谁满足 $A$ 的那句条件？

解法一：化简条件逐个检验

怎么想到的。 交集要「两边都要」。$B$ 这边一眼看穿，$A$ 那边只给了一句条件。那就先把这句条件化到最简——化到「报出 $x$ 的范围」为止——然后让 $B$ 的 $5$ 个候选逐个过堂。

① 把条件化简。 $-5<x^3<5$ 三边同时开立方。为什么可以直接开：立方运算保序——大的数立方之后还是大（$1<2$，则 $1^3<2^3$），所以不等号方向一动不动：

$$-5<x^3<5\ \Longleftrightarrow\ -\sqrt[3]{5}<x<\sqrt[3]{5}$$

② 给 $\sqrt[3]{5}$ 定位。 它是无理数，不用算出小数，只要知道它夹在哪两个整数之间。拿整数的立方去夹：$1^3=1<5$，而 $2^3=8>5$，所以

$$1<\sqrt[3]{5}<2$$

也就是说 $A$ 大致是「从 $-1$ 点几到 $1$ 点几」之间的所有实数。这个粗糙程度已经够用——候选全是整数。

③ 五个候选逐个过堂。

• $-3$：它比 $-2$ 还小，而 $-\sqrt[3]{5}>-2$，所以 $-3<-\sqrt[3]{5}$，不在 $A$ 里；
• $-1$：$-1>-\sqrt[3]{5}$ 且 $-1<\sqrt[3]{5}$，在；
• $0$：在；
• $2$：$2>\sqrt[3]{5}$，不在；
• $3$：更不在。

④ 写交集、对选项。 留下的是 $-1$ 与 $0$：

$$A\cap B=\{-1,0\}$$

⑤ 换一种记账法核对一遍。 不想估 $\sqrt[3]{5}$ 也行：把每个候选直接立方，看结果在不在 $(-5,5)$ 里——

$$(-3)^3=-27\ \times\qquad (-1)^3=-1\ \checkmark\qquad 0^3=0\ \checkmark\qquad 2^3=8\ \times\qquad 3^3=27\ \times$$

留下的还是 $-1,0$，与第 ③ 步一致。这两招为什么必然一致：拿 $x$ 与 $\sqrt[3]{5}$ 比大小，和拿 $x^3$ 与 $5$ 比大小，是同一次比较——第 ① 步那句「立方保序」说的就是它们可以互换。

四个选项顺带看清各自的埋法：B 是「光看见 $2,3$ 是正的，忘了 $2^3=8$ 已经出界」；C 是「把 $-3$ 也放过」；D 是「把 $2$ 也放过」。

为什么这道题只有一条路

全题只有两件工具：交集的定义（两边都要）与立方保序（开立方不动不等号）。化简出区间再比、与逐候选立方代回，用的是同一对工具、做的是同一次大小比较，只是记账先后不同——它们是一条路上的两种写法，不是两条路。

真正值得练的是第 ② 步：给一个根号找整数邻居，用乘方夹，不背小数。

🕳️ 避坑

• $\sqrt[3]{5}$ 不能凭感觉估。正确动作是用整数的立方夹：$1^3=1<5<8=2^3$，所以 $1<\sqrt[3]{5}<2$。估成「$2$ 多一点」，$2$ 就会被误收，正好撞进 D。
• 负数的立方还是负数：$(-3)^3=-27$。把它当成 $27$ 去比，这道题碰巧结论不变，换一道题（比如条件改成 $-30<x^3<5$）就翻车。
• 描述法竖线右边那句才是条件：$\{x\mid -5<x^3<5\}$ 的约束对象是 $x^3$、不是 $x$——看岔成「$-5<x<5$」就把 $2$、$3$ 全收进来，变成 B、D 的并集了。