公式

期望的尾概率求和

取值为正整数的 $X$ ： $E(X)=P(X\geq1)+P(X\geq2)+\cdots$ ，不必列分布列。

公式

设 $X$ 只取 $1,2,\dots,n$ 这些正整数值，则

E(X)=\sum_{k=1}^{n}P(X\ge k)=P(X\ge1)+P(X\ge2)+\cdots+P(X\ge n).

记 $p_k=P(X=k)$ 。把定义式里每个 $k\,p_k$ 拆成 $k$ 个 $p_k$ ，按列重新加：

\begin{aligned} E(X)&=1p_1+2p_2+3p_3+\cdots+np_n\\ &=\underbrace{(p_1+p_2+\cdots+p_n)}_{P(X\ge1)}+\underbrace{(p_2+\cdots+p_n)}_{P(X\ge2)}+\cdots+\underbrace{p_n}_{P(X\ge n)} . \end{aligned}

每一列恰好是一个尾概率 $P(X\ge k)=p_k+p_{k+1}+\cdots+p_n$ 。这是恒等变形，不是新原理——所以哪怕课本没有，写出这两行就可以放心用。

看事件 $\{X\ge k\}$ 好不好数：

$X=$ 若干次抽取里的最小值 → $\{X\ge k\}$ 就是「抽到的全都 $\ge k$ 」，一个组合数搞定；而 $\{X=k\}$ 还要分「取到几个 $k$ 」讨论。尾概率完胜。
$X=$ 最大值 → 同理， $\{X\le k\}$ 好数，用 $E(X)=\sum_k\bigl(1-P(X\le k-1)\bigr)$ 的写法。
$X$ 的各个 $p_k$ 本来就一眼可见（如骰子点数） → 直接列分布列更省事，不必绕。

从 $k=1$ 起，一项都不能少。 首项 $P(X\ge1)=1$ 看着像废话，漏掉答案就整整小 $1$ 。
是 $\ge$ 不是 $>$ 。 换成 $P(X>k)$ 求和，得到的是 $E(X)-1$ （对取值从 $1$ 起的 $X$ ）。若 $X$ 从 $0$ 开始取值， $P(X\ge0)=1$ 那一项不参与——公式的求和从 $k=1$ 起。

共 2 条前置、最深 2 层。

共 2 道题考到本条。