浙江 2011 · 数学 q15

冷启动：题面只给了一个数，先把 $p$ 挖出来

三家公司互相独立，甲给面试的概率是 $\dfrac23$，乙、丙各是 $p$。 $X$ 记「给面试的公司家数」，取值 $0,1,2,3$。

唯一能立刻写出来的就是 $X=0$——它只有一种情形：三家都不给。

$$P(X=0)=\left(1-\frac23\right)(1-p)^{2}=\frac13(1-p)^{2}=\frac{1}{12} \quad\Longrightarrow\quad (1-p)^{2}=\frac14 .$$

开方要带 $\pm$：$1-p=\pm\dfrac12$，即 $p=\dfrac12$ 或 $p=\dfrac32$。 $p$ 是概率，必须落在 $[0,1]$ 里，所以

$$\boxed{p=\frac12 .}$$

（这一步是本题唯一可能翻车的地方。丢了绝对值直接写 $1-p=\dfrac12$ 答案照样对， 但那是运气好——换个数据，被丢掉的那一支可能才是合法的。）

把乙、丙打包成一个变量

后面三条路都会用到同一个记号：记 $Y$ 为乙、丙两家里给面试的家数， 它是两次独立的、成功概率都为 $\dfrac12$ 的试验中的成功次数，所以

$$P(Y=0)=\frac14,\qquad P(Y=1)=2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12,\qquad P(Y=2)=\frac14 .$$

而 $X=I+Y$，其中 $I$ 是「甲给不给」的 $0$–$1$ 变量，$P(I=1)=\dfrac23$，且 $I$ 与 $Y$ 独立。 题目问的 $E(X)$，就落在这个分解上。

解法一：原卷路线——把四个 $P(X=k)$ 都写出来，再按定义加权求和

$p=\dfrac12$ 代进去，逐个数清楚。为了不重不漏，固定一个顺序：甲、乙、丙， 每种情形写成「给／不给」的一串。

$$P(X=1)=\underbrace{\frac23\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{只有甲}} +\underbrace{\frac13\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{只有乙}} +\underbrace{\frac13\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{只有丙}} =\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12} ,$$ $$P(X=2)=\underbrace{\frac23\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{甲乙}} +\underbrace{\frac23\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{甲丙}} +\underbrace{\frac13\cdot\frac12\cdot\frac12}_{\text{乙丙}} =\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12} .$$

$P(X=3)$ 可以直接算 $\dfrac23\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac{2}{12}$， 原卷用的是反着来的写法——前三个都有了，最后一个用「和为 $1$」倒推：

$$P(X=3)=1-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}-\frac{5}{12}=\frac{2}{12} .$$

两种写法结果相同，这本身就是一次对账：四项加起来正好是 $1$。 这只是一道必要的检验——四项和为 $1$ 挡得住「某一项算错、别的项没跟着错」， 却挡不住两项错得刚好抵消；真要确认没重没漏，还得回头看四种情形是否两两互斥、合起来是否把所有可能都盖住。 分布列：

按定义求和：

$$E(X)=0\cdot\frac{1}{12}+1\cdot\frac{4}{12}+2\cdot\frac{5}{12}+3\cdot\frac{2}{12} =\frac{4+10+6}{12}=\frac{20}{12}=\boxed{\dfrac{5}{3}} .$$

解法二：拆成三个指示变量——期望可加，三家各自的概率一加就是答案

上面那一页，其实一行就够。把 $X$ 写成三个 $0$–$1$ 变量之和：

$$X=I_{\text{甲}}+I_{\text{乙}}+I_{\text{丙}},\qquad I_{\bullet}=\begin{cases}1,&\text{该公司给面试}\\[2pt] 0,&\text{否则}\end{cases}$$

这个等式逐个样本点成立：右边数的正是「有几家给了面试」。 而 $0$–$1$ 变量的期望就是它取 $1$ 的概率：

$$E(I_{\text{甲}})=\frac23,\qquad E(I_{\text{乙}})=E(I_{\text{丙}})=p=\frac12 .$$

期望对和可加，于是

$$E(X)=E(I_{\text{甲}})+E(I_{\text{乙}})+E(I_{\text{丙}}) =\frac23+\frac12+\frac12=\frac23+1=\boxed{\dfrac{5}{3}} .$$

这条路最值得记住的一点：可加性不要求独立。 三家是不是独立、$p$ 等于几， 都不影响 $E(X)=\dfrac23+2p$ 这个式子；独立性只在求 $p$ 那一步用过 （$P(X=0)$ 拆成三个概率相乘）。 所以真正的解题顺序是：先用独立性从 $P(X=0)$ 解出 $p$，再用可加性一步写出期望， 分布列一个都不用算。

解法三：尾概率求和——$E(X)=P(X\geq1)+P(X\geq2)+P(X\geq3)$，三个尾事件按甲分两支算

取非负整数值的随机变量，期望还有第三种写法：

$$E(X)=\sum_{k\geq1}P(X\geq k) .$$

求和从 $k=1$ 起，不是从 $k=0$ 起——$P(X\geq0)=1$ 不进这个和，加进去答案会整整多 $1$。 本题 $X\leq3$，所以只有三项。

三个尾事件都按「甲给不给」分两支来算（$X=I+Y$，$I$ 与 $Y$ 独立）：

$$P(X\geq k)=\frac23\,P(Y\geq k-1)+\frac13\,P(Y\geq k) .$$

$Y$ 的尾概率是现成的：$P(Y\geq0)=1$、$P(Y\geq1)=\dfrac34$、$P(Y\geq2)=\dfrac14$、$P(Y\geq3)=0$。代进去：

第一行可以立刻对账：$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}$，与表里一致。

$$E(X)=\frac{11}{12}+\frac{7}{12}+\frac{2}{12}=\frac{20}{12}=\boxed{\dfrac{5}{3}} .$$

三条路怎么选

• 解法一是标准答卷，也是唯一交出完整分布列的一条。 如果题目接着问方差、问 $P(X\geq2)$、问「最可能拿到几个面试」，分布列都得写，那就直接走它。 唯一的成本是要把 $X=1$、$X=2$ 的情形数清楚，按固定顺序列、最后用「和为 $1$」对一次账， 就不会重不会漏。
• 解法二最快，本题只问期望时是压倒性的最优解：两行写完，还不依赖独立性。 凡是「若干个事件中发生了几个」型的随机变量（有几道菜被点中、有几个人答对、有几盏灯亮着）， 这条路都适用——把计数变量拆成一堆 $0$–$1$ 变量是这类题的通用第一步。
• 解法三在本题上不占便宜（尾概率照样要算三个），但它是分布列难写、尾事件好写那类题的正解， 比如「抽到某种牌就停，问抽的次数」——$P(X\geq k)$ 就是「前 $k-1$ 次都没抽到」，一行写完， 而 $P(X=k)$ 要写成两段相减。记住它的形状，换题时就知道有这条路。

易错

• 开方丢 $\pm$。 $(1-p)^{2}=\dfrac14$ 给出 $1-p=\pm\dfrac12$，两支都要写出来， 再用「$p$ 是概率，$0\leq p\leq1$」把 $p=\dfrac32$ 排掉。本题恰好只有一支合法， 但过程里必须看得见那一次取舍。
• 数情形时重复或遗漏。 $X=1$ 有三种、$X=2$ 有三种，漏一种或把「甲乙」和「乙甲」算两次都会错。 防法是按公司的固定顺序枚举，再用「四个概率之和为 $1$」验一次—— 本题原卷正是拿这一条去反推 $P(X=3)$ 的。
• 以为不独立就不能用可加性。 期望的可加性对任何随机变量都成立， $E(X)=\dfrac23+2p$ 与三家是否独立无关；独立性只用在把 $P(X=0)$ 拆成乘积那一步。 把两件事混在一起，遇到「不独立」的题就会以为可加性也没了。
• 尾概率求和从 $k=0$ 起。 $E(X)=\sum_{k\geq1}P(X\geq k)$ 的第一项是 $P(X\geq1)$； 误加上 $P(X\geq0)=1$，答案会变成 $\dfrac83$。
• 把 $p$ 当成答案交出去。 问的是 $E(X)$，不是 $p$。$p=\dfrac12$ 只是中途量。