尾概率求和漏掉第一项

坑长什么样

$\xi$ 取值 $1,2,3,4$，尾概率是 $P(\xi\ge2)=\dfrac{20}{35}$、$P(\xi\ge3)=\dfrac{4}{35}$、$P(\xi\ge4)=\dfrac{1}{35}$。

• 错：$E(\xi)=\dfrac{20+4+1}{35}=\dfrac{25}{35}=\dfrac57$；
• 对：还有 $P(\xi\ge1)=1$ 这一项，$E(\xi)=1+\dfrac{25}{35}=\dfrac{60}{35}=\dfrac{12}{7}$。

答案差的正好是 $1$。

为什么容易犯

因为 $P(\xi\ge1)=1$ 不用算——它不出现在草稿纸上，于是也不出现在求和里。抄下来的三个分数看着很齐整，缺的那一项没有留下任何痕迹。

怎么防

• 写公式时先把项数点清楚。 $\xi$ 取 $1$ 到 $n$，求和就该有 $n$ 项。上例 $n=4$，只加了 $3$ 个分数就该警觉。
• 把恒等于 $1$ 的那项照写不误：$E(\xi)=1+P(\xi\ge2)+\cdots$，别在心里省掉。
• 量级自查：$\xi$ 的最小取值是 $1$，所以 $E(\xi)\ge1$ 是铁律。算出 $\frac57<1$ 就一定错了。
• 别把 $\ge$ 写成 $>$：$\sum_k P(\xi>k)$ 得到的恰好是 $E(\xi)-1$——同一个坑的另一副面孔。