卡方统计量

教材原文

显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难。我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断 $H_0$ 是否成立。一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小。为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量：

$\begin{array}{l} \chi^ {2} = \frac {\left(a - \frac {(a + b) (a + c)}{n}\right) ^ {2}}{\frac {(a + b) (a + c)}{n}} + \frac {\left(b - \frac {(a + b) (b + d)}{n}\right) ^ {2}}{\frac {(a + b) (b + d)}{n}} + \\ \frac {\left(c - \frac {(c + d) (a + c)}{n}\right) ^ {2}}{\frac {(c + d) (a + c)}{n}} + \frac {\left(d - \frac {(c + d) (b + d)}{n}\right) ^ {2}}{\frac {(c + d) (b + d)}{n}}. \end{array}$

该表达式可化简为

$$\chi^ {2} = \frac {n (a d - b c) ^ {2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}.\tag{1}$$

统计学家建议，用随机变量 $\chi^2$ 取值的大小作为判断零假设 $H_0$ 是否成立的依据，当它比较大时推断 $H_0$ 不成立，否则认为 $H_0$ 成立。

公式

对 $2\times2$ 列联表（总数 $n=a+b+c+d$）：

用法

• 代入四格数据算出 $\chi^2$，与小概率值 $\alpha$ 的临界值比较：超过则认为两分类变量有关。