三斜求积公式

教材原文

在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 $a, b, c$ 直接求出三角形的面积。据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式

$S = \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)},$

这里 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ .

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”。在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。”这道题实际上就是已知三角形的三边长，求三角形的面积。《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式，就是

$S = \sqrt {\frac {1}{4} \left[ c ^ {2} a ^ {2} - \left(\frac {c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}}{2}\right) ^ {2} \right]}.$

它是从哪来的

不必把它当成一条要背的新公式——它就是「余弦定理 + 面积公式」两步合成一步：

于是

（最后一步把 $c^2a^2\cos^2B=\left(ca\cos B\right)^2=\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2$ 代进去。）开方即得。

看清这一点，公式就不用记了：现场用余弦定理配面积公式推一遍，两行的事。

要点

• 字母的位置要对上：公式里 $b$ 是那条「被减掉的」边——它对着的角 $B$ 正是面积公式里用的那个夹角。三条边代错位置，答案就错。
• 与海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（$p$ 为半周长）等价，两条展开后是同一个式子。边长带根号时三斜求积更省事（只需平方，不必算半周长的四个因子）；边长是整数时海伦公式更快。
• 括号里那一坨必须非负才有面积——它等于 $c^2a^2\sin^2B\ge0$，自动成立；若代完是负数，说明三边根本构不成三角形（或代错了位置）。