浙江 2022 · 数学 q11

冷启动：题目已经把公式给你了

这道题不考你记不记得公式——公式白纸黑字印在题面上。它考两件事：看懂公式里每个字母指谁，以及把带根号的数代进去算干净。

① 公式长什么样。

$$S=\sqrt{\frac14\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$$

这是南宋数学家秦九韶的「三斜求积」，作用是由三条边直接算面积，不用先求角。（人教A版必修第二册 §6.4.3 后面的阅读材料「海伦和秦九韶」里就有它，与古希腊的海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 等价。）

② 字母怎么对。 公式里 $a$、$c$ 是成对出现的（$c^2a^2$、$c^2+a^2$），只有 $b$ 是单独被减掉的那一个——$b$ 的地位与另外两条不一样，代的时候别串。题目给的是

$$a=\sqrt2,\qquad b=\sqrt3,\qquad c=2$$

字母一一对应，照着代就行。

③ 先把三个平方算出来备用。 带根号的数代进公式前，先把平方算清楚，能省掉一大半麻烦：

$$a^2=(\sqrt2)^2=2,\qquad b^2=(\sqrt3)^2=3,\qquad c^2=2^2=4$$

根号一平方就没了——这道题的所有根号只在最后一步再出现。

解法一：照题目给的公式直接代

怎么想到的。 题目把公式端到了面前，三条边也都给了，那就照着代。唯一要留神的是先算平方、后算减法，别在半路上留根号。

① 算括号里的第二项。

$$\frac{c^2+a^2-b^2}{2}=\frac{4+2-3}{2}=\frac32$$

② 算括号里的第一项。

$$c^2a^2=4\times2=8$$

（注意这是 $c^2$ 乘 $a^2$，不是 $(ca)^2$ 之外的什么东西——两者本来就相等，但代的时候容易写成 $c^2\cdot a=4\sqrt2$ 之类。既然第 ③ 步已经把平方都算好了，直接相乘最稳。）

③ 括号相减。

$$c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2=8-\left(\frac32\right)^2=8-\frac94=\frac{32-9}{4}=\frac{23}{4}$$

④ 乘 $\dfrac14$ 再开方。

$$S=\sqrt{\frac14\cdot\frac{23}{4}}=\sqrt{\frac{23}{16}}=\frac{\sqrt{23}}{4}$$

（$\sqrt{16}=4$ 提得出来，$23$ 是质数、提不出来，所以到此为止。）

$$\boxed{S=\frac{\sqrt{23}}{4}}$$

解法二：余弦定理求出夹角的正弦，再用面积公式

怎么想到的。 三斜求积不是凭空来的——它就是「余弦定理 + 面积公式」两步合成一步。所以哪怕题目不给公式（或者你怀疑自己抄错了公式），照样能算：三角形面积的通用公式是

$$S=\frac12\,ca\sin B$$

（两边与它们夹角的正弦之积的一半。）现在三条边全知道，缺的只是 $\sin B$——而由三边求角，正是余弦定理干的活。

这条路值得走一遍，因为它能让你以后再也不用记三斜求积。

① 用余弦定理求 $\cos B$。 余弦定理写成「解出角」的形式：

$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$$

（$b$ 是 $B$ 的对边，$c$、$a$ 是夹 $B$ 的两条边——与解法一里 $b$ 被单独减掉是同一件事。）代入：

$$\cos B=\frac{4+2-3}{2\times2\times\sqrt2}=\frac{3}{4\sqrt2}$$

② 求 $\sin B$。 三角形的内角满足 $0<B<\pi$，所以 $\sin B>0$，开方取正号：

$$\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\frac{9}{32}}=\sqrt{\frac{23}{32}}=\frac{\sqrt{23}}{4\sqrt2}$$

（$\sqrt{32}=4\sqrt2$。）

③ 代面积公式。

$$S=\frac12\,ca\sin B=\frac12\times2\times\sqrt2\times\frac{\sqrt{23}}{4\sqrt2} =\frac{2\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt{23}}{4\sqrt2} =\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{23}}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt{23}}{4}$$

（$\sqrt2$ 上下约掉。）与解法一完全一致 ✓。

④ 顺手看清两条路的关系。 把第 ① 步的 $\cos B$ 乘上 $ca$：

$$ca\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2}$$

——右边正是解法一括号里被平方的那一项。再看

$$S^2=\frac14c^2a^2\sin^2B=\frac14c^2a^2\left(1-\cos^2B\right) =\frac14\left[c^2a^2-\left(ca\cos B\right)^2\right] =\frac14\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]$$

这正是三斜求积公式。所以解法二不是「另一种算法」，它是那条公式的出生证明。

这两条路差在哪

• 解法一是代入：公式现成，把三个平方算好往里填，四步到底。不涉及任何角。
• 解法二是推导：先求出夹角的余弦、再求正弦，最后用面积公式。它造出了一个解法一里根本不出现的中间量——角 $B$，而且那个中间量删不掉。

第一个实质动作就分岔了（代值 vs 求角），依赖的公式也不同（三斜求积 vs 余弦定理 + 面积公式）。所以是两条路。

考场上怎么选：题目既然把公式给了，解法一最快，十几秒的事。但解法二有两个不可替代的用处——① 万一公式抄错或记岔，它能兜底；② 它解释了三斜求积为什么成立，学完这一遍，以后见到「已知三边求面积」都不用回忆公式。第 ④ 步那个对照值得看两遍。

🕳️ 避坑

• 先把三个平方算出来。 $a^2=2$、$b^2=3$、$c^2=4$——根号在这一步就消失了。带着 $\sqrt2$、$\sqrt3$ 往公式里代，中间一定会写乱。
• $b$ 的位置与另外两条不同。 公式里 $a$、$c$ 成对出现，只有 $b^2$ 是被减掉的那一个。把 $b=\sqrt3$ 代到 $a$ 或 $c$ 的位置上，算出来是另一个三角形的面积。判断办法：$b$ 对着的角就是面积公式里用的夹角。
• 最后一步别忘了开方与约分。 $\sqrt{\dfrac{23}{16}}=\dfrac{\sqrt{23}}{4}$——分母的 $16$ 开得出来、分子的 $23$ 是质数开不出来。答成 $\dfrac{23}{16}$（忘了开方）或 $\dfrac{\sqrt{23}}{16}$（只开了分子）都是白丢分。
• 解法二里 $\sin B$ 要取正号。 三角形的内角在 $(0,\pi)$ 内，正弦恒正，所以 $\sin B=+\sqrt{1-\cos^2B}$，不带 $\pm$。这一条在别的题里（角不限于三角形内角时）就不成立了。
• 本题特有的一处：三条边 $\sqrt2,\sqrt3,2$ 看着别扭，但平方之后是 $2,3,4$——干干净净的三个整数。看到边长带根号，先平方一遍往往就柳暗花明；这也正是出题人选这三个数的用意。