复数的加减运算

教材原文

设 $z_{1} = a + b\mathrm{i}$ ， $z_{2} = c + d\mathrm{i}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d\in \mathbf{R}$ ）是任意两个复数，那么它们的和

$(a + b \mathrm{i}) + (c + d \mathrm{i}) = (a + c) + (b + d) \mathrm{i}.$

$(a + b \mathrm{i}) - (c + d \mathrm{i}) = (a - c) + (b - d) \mathrm{i}.$

这就是复数的减法法则. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数. 可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减.

要点

加减法是分量各自的事：实部只和实部打交道、虚部只和虚部打交道，等于把 $\mathrm{i}$ 当字母做多项式的合并同类项。所以

加法是直接规定的，减法则被定义成加法的逆运算——满足 $(c+d\mathrm{i})+(x+y\mathrm{i})=a+b\mathrm{i}$ 的那个 $x+y\mathrm{i}$ 就叫差。解它要用「复数相等 $\iff$ 实部虚部分别相等」把一个复数等式拆成 $c+x=a$、$d+y=b$，于是 $x=a-c$、$y=b-d$：解存在且唯一，这才有资格叫「差」。

几何上，复数 $\leftrightarrow$ 以原点为起点的向量，于是加法就是向量加法（平行四边形/三角形法则），减法就是向量减法：$z_{1}-z_{2}$ 对应从点 $Z_{2}$ 指向点 $Z_{1}$ 的向量，因此

这是含模的方程、轨迹、最值题的总开关（$|z-z_{0}|=r$ 就是以 $z_{0}$ 为心、$r$ 为半径的圆）。

两条容易记反的：加减法不像乘除法那样能把模拆开，$|z_{1}+z_{2}|$ 一般不等于 $|z_{1}|+|z_{2}|$，只有三角形不等式；而 $z+\bar z=2a$、$z-\bar z=2b\mathrm{i}$——共轭的和是实数、差是纯虚数，这两个式子本身就是加减法则的直接产物。