7.2 复数的四则运算

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7.2 复数的四则运算

在上一节，我们把实数集扩充到了复数集. 引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算. 下面就来讨论复数集中的运算问题.

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

我们规定，复数的加法法则如下：

设 $z_{1} = a + b\mathrm{i}$ ， $z_{2} = c + d\mathrm{i}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d\in \mathbf{R}$ ）是任意两个复数，那么它们的和

$(a + b \mathrm{i}) + (c + d \mathrm{i}) = (a + c) + (b + d) \mathrm{i}.$

很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 特别地，当 $z_{1}, z_{2}$ 都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.

可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加.

思考

复数的加法满足交换律、结合律吗？

容易得到，对任意 $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbf{C}$，有

$\begin{array}{c} z _ {1} + z _ {2} = z _ {2} + z _ {1}, \\ (z _ {1} + z _ {2}) + z _ {3} = z _ {1} + (z _ {2} + z _ {3}). \end{array}$

探究

我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

设 $\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$ 分别与复数 $a + bi$，$c + di$ 对应，则 $\overrightarrow{OZ_1} = (a, b)$，$\overrightarrow{OZ_2} = (c, d)$。由平面向量的坐标运算法则，得

$\overrightarrow {O Z _ {1}} + \overrightarrow {O Z _ {2}} = (a + c, b + d).$

这说明两个向量 $\overrightarrow{OZ_{1}}$ 与 $\overrightarrow{OZ_{2}}$ 的和就是与复数 $(a+c)+(b+d)$ i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（图7.2-1），这就是复数加法的几何意义.

思考

我们知道，实数的减法是加法的逆运算. 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？

我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足

$(c + d \mathrm{i}) + (x + y \mathrm{i}) = a + b \mathrm{i}$

的复数 $x + yi(x, y \in \mathbf{R})$ 叫做复数 $a + bi(a, b \in \mathbf{R})$ 减去复数 $c + di(c, d \in \mathbf{R})$ 的差，记作 $(a + bi) - (c + di)$.

根据复数相等的含义，

$c + x = a, d + y = b,$

因此

$x = a - c, y = b - d,$

所以

$x + y \mathrm{i} = (a - c) + (b - d) \mathrm{i},$

即

$(a + b \mathrm{i}) - (c + d \mathrm{i}) = (a - c) + (b - d) \mathrm{i}.$

这就是复数的减法法则. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数. 可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减.

探究

类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？

例 1 计算 $(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)$ .