并集的元素个数

教材原文

一般地，对任意两个有限集合 $A, B$ ，有

$\operatorname{card} (A \cup B) = \operatorname{card} (A) + \operatorname{card} (B) - \operatorname{card} (A \cap B).$

公式

说明

• 为什么要减。 把两个集合的元素个数相加时，$A\cap B$ 里的元素被数了两遍，减一次刚好只剩一遍。 课本用「两次进货一共几种」引入：第一次 $6$ 种、第二次 $4$ 种，公共 $2$ 种，一共 $6+4-2=8$ 种。
• 四个量知三求一。 常见用法是反过来：并集与两边的个数已知时， $|A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|$ 定出重叠部分。
• 不相交时退化成加法。 $A\cap B=\varnothing$ 时 $|A\cup B| = |A| + |B|$——这就是分类计数 「不重不漏」那一条的集合写法。
• 三个集合的版本（加三个减三个再加一个）不在必修范围里，考到时按两个集合分两步套用即可。