浙江 2015 · 数学 q06

冷启动：先把新定义翻译成人话

题目造了一个记号

$$d(A,B)=\mathrm{card}(A\cup B)-\mathrm{card}(A\cap B),$$

其中 $\mathrm{card}$ 表示有限集的元素个数。看图就明白它在数什么： $A\cup B$ 是韦恩图的三块（只在 $A$ 里的、两边都在的、只在 $B$ 里的）， $A\cap B$ 是中间那一块，相减剩下两侧的月牙。于是

$$d(A,B)=\text{「恰好属于 }A,B\text{ 中一个」的元素个数}.$$

（严格地说，$A\cap B\subseteq A\cup B$，两个有限集相减得到的正是差集 $(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ 的元素个数； 而 $x$ 属于这个差集，当且仅当 $x$ 在 $A,B$ 里恰好属于一个。）

新定义题的第一步永远是这个：把陌生记号换成一句能在图上指出来的话。 换完之后，两个命题都不再神秘—— 命题①问「两块月牙是不是空的」，命题②是一个「绕道不会更近」的三角不等式。

解法一：把 $d$ 读成「恰好属于一个集合」的元素个数，两个命题都在元素上判

第一步：把 $d$ 换成一个集合的元素个数

记

$$S(X,Y)=(X\cup Y)\setminus(X\cap Y).$$

因为 $X\cap Y\subseteq X\cup Y$，有限集相减得

$$d(X,Y)=\mathrm{card}(X\cup Y)-\mathrm{card}(X\cap Y)=\mathrm{card}\bigl(S(X,Y)\bigr).$$

而 $x\in S(X,Y)$ 当且仅当「$x\in X$ 或 $x\in Y$」且「不同时属于两者」，即

$$x\in S(X,Y)\iff x\ \text{在}\ X,Y\ \text{中恰好属于一个}.$$

以下所有推理都在这句话上做。

第二步：命题① 的「$\Rightarrow$」方向

设 $A\neq B$。两个集合不相等，说明至少有一个元素只被其中一个装着： 不然的话，每个元素要么两边都在、要么两边都不在，$A$ 与 $B$ 就是同一个集合了。 取这样一个 $x$，由第一步 $x\in S(A,B)$，所以 $S(A,B)\neq\varnothing$，于是

$$d(A,B)=\mathrm{card}\bigl(S(A,B)\bigr)\geq1>0 .$$

第三步：命题① 的「$\Leftarrow$」方向

设 $d(A,B)>0$，即 $\mathrm{card}\bigl(S(A,B)\bigr)>0$，所以 $S(A,B)$ 里能取到一个元素 $x$。 由第一步，这个 $x$ 在 $A,B$ 中恰属于一个——不妨设 $x\in A$ 而 $x\notin B$。 一个属于 $A$ 却不属于 $B$ 的元素，正说明 $A\neq B$。

两个方向都通，命题①成立。

（这一步不能省。「$A\neq B$ 时 $d>0$」只是充分性； 少了这一半，$d>0$ 时也可能有别的集合对，命题就只是必要条件而不是充要条件。 本题两边都直接，但先分清方向再动笔，是含「充要」二字的题的固定动作。）

第四步：命题② 化成一个包含关系

要证 $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$，只要证

$$S(A,C)\subseteq S(A,B)\cup S(B,C).$$

因为有了它，就有

$$d(A,C)=\mathrm{card}\bigl(S(A,C)\bigr) \leq\mathrm{card}\bigl(S(A,B)\cup S(B,C)\bigr) \leq\mathrm{card}\bigl(S(A,B)\bigr)+\mathrm{card}\bigl(S(B,C)\bigr) =d(A,B)+d(B,C).$$

（第一个 $\leq$ 用的是「有限集的包含关系保持元素个数的大小」， 第二个用的是「两个有限集的并，元素个数不超过各自个数之和」。）

第五步：证这个包含关系——取任一元素，按它属不属于 $B$ 分两支

设 $x\in S(A,C)$，即 $x$ 在 $A,C$ 中恰属于一个。不妨设

$$x\in A,\qquad x\notin C$$

（另一种情形把 $A$ 与 $C$ 的角色互换即可，推理一字不改）。看 $x$ 与 $B$ 的关系：

• 若 $x\in B$：此时 $x\in B$ 而 $x\notin C$，$x$ 在 $B,C$ 中恰属于一个，故 $x\in S(B,C)$。
• 若 $x\notin B$：此时 $x\in A$ 而 $x\notin B$，$x$ 在 $A,B$ 中恰属于一个，故 $x\in S(A,B)$。

两支穷尽了所有可能，且每一支都把 $x$ 送进了 $S(A,B)\cup S(B,C)$。所以

$$S(A,C)\subseteq S(A,B)\cup S(B,C),$$

命题②成立。

第六步：对选项

命题①、命题②都成立，选 A。

答案：A。

解法二：用容斥把 $d$ 写成 $|A|+|B|-2|A\cap B|$，两个命题都变成整数不等式

这条路完全不碰元素，只做整数运算。以下把 $\mathrm{card}(X)$ 简写成 $|X|$。

第一步：改写 $d$

并集的元素个数公式（容斥）给出 $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$，代进定义：

$$d(X,Y)=\bigl(|X|+|Y|-|X\cap Y|\bigr)-|X\cap Y|=|X|+|Y|-2|X\cap Y| .$$

第二步：命题① 的「$\Leftarrow$」方向（先做容易的那半）

由第一步，

$$d(A,B)=\bigl(|A|-|A\cap B|\bigr)+\bigl(|B|-|A\cap B|\bigr).$$

$A\cap B\subseteq A$ 与 $A\cap B\subseteq B$，所以括号里两项都 $\geq0$，于是 $d(A,B)\geq0$， 且 $d(A,B)=0$ 当且仅当两项同时为零，即

$$|A\cap B|=|A|\quad\text{且}\quad|A\cap B|=|B| .$$

有限集里，包含关系加上元素个数相等就是相等：由 $A\cap B\subseteq A$ 与 $|A\cap B|=|A|$ 得 $A\cap B=A$， 即 $A\subseteq B$；同理 $B\subseteq A$。故 $A=B$。

于是：$d(A,B)>0\Rightarrow d(A,B)\neq0\Rightarrow A\neq B$。

第三步：命题① 的「$\Rightarrow$」方向

反过来，若 $A=B$，则 $A\cap B=A$，代入第一步得 $d(A,B)=|A|+|A|-2|A|=0$。 取逆否：$d(A,B)\neq0\Rightarrow A\neq B$ 的逆否是 $A=B\Rightarrow d(A,B)=0$， 所以 $A\neq B\Rightarrow d(A,B)\neq0$，再由 $d\geq0$ 得 $d(A,B)>0$。

两个方向都通，命题①成立。

第四步：命题② 化成一个整数不等式

把第一步的写法代进 $d(A,B)+d(B,C)-d(A,C)$：

$$\begin{aligned} &\bigl(|A|+|B|-2|A\cap B|\bigr)+\bigl(|B|+|C|-2|B\cap C|\bigr)-\bigl(|A|+|C|-2|A\cap C|\bigr)\\ &=2\Bigl(|B|+|A\cap C|-|A\cap B|-|B\cap C|\Bigr). \end{aligned}$$

所以命题② 等价于

$$|A\cap B|+|B\cap C|\ \leq\ |B|+|A\cap C| . \tag{$\ast$}$$

第五步：证 $(\ast)$——对 $A\cap B$ 与 $B\cap C$ 再用一次容斥

对这两个集合用并集的元素个数公式：

$$|A\cap B|+|B\cap C|=\bigl|(A\cap B)\cup(B\cap C)\bigr|+\bigl|(A\cap B)\cap(B\cap C)\bigr| .$$

两块各自放大：

• $(A\cap B)\cup(B\cap C)=B\cap(A\cup C)\subseteq B$，故 $\bigl|(A\cap B)\cup(B\cap C)\bigr|\leq|B|$；
• $(A\cap B)\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\subseteq A\cap C$，故 $\bigl|(A\cap B)\cap(B\cap C)\bigr|\leq|A\cap C|$。

两式相加即得 $(\ast)$。所以

$$d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C),$$

命题②成立。

第六步：对选项

两个命题都成立，选 A。

答案：A。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一把 $d$ 认成「恰好属于一个」的元素个数之后，两个命题都变成一句话就能说清的事： ①是「月牙空不空」，②是「$x$ 在 $A,C$ 上有分歧，$B$ 不管站哪边，都会跟其中一个产生分歧」。 它的技术含量全在取一个元素、按归属分两支这个动作上，写起来最短。

解法二一个元素都不碰，全程是整数运算。代价是命题② 要把不等式先整理成 $(\ast)$， 再对 $A\cap B$ 与 $B\cap C$ 第二次使用容斥公式才放缩得动。 好处是每一步都是等式变形，不需要「不妨设」，也不必担心分类漏支。 顺带看清了一件事：$d(A,B)=|A|+|B|-2|A\cap B|$， 所以 $d$ 与 $|A|+|B|$ 奇偶性相同——这类新定义题若追问奇偶性，从这个写法上直接读。

一句话记住这道题：新定义先翻译。$d$ 数的是「恰好属于一个」的元素， 于是「不相等」就是「数得到东西」，而「绕道 $B$」只会把分歧数得更多，不会更少。